EDIT (Vgl. Kommentar): "Ich habe noch zu vergessen zu erwähnen, dass p eine Primzahl ist."
Hey Ho. Für meine Elementare Zahlentheorie Vorlesung stehe ich grade vor Folgendem Problem:
Zeigen sie: $$v_p(n!)=\sum_{k=0}^{\infty}{\left [\frac{n}{p^k} \right]} $$
Wobei vp(n):=max{k∈N0:pk|n}
Nun Ich hab zu erst über eine Induktion nachgedacht. Wollte das dann mal ausrechnen für z.B p=5 und n=10
Also Zahlen eingesetzt v5(10!)=max{k∈N0:5k | 3628800 } die Größte 5er Potenz die 3628800 teilt wäre 2. Das Selbe kommt bei der Summe auch raus. Perfekt. (Ich habe grade diese Zahlen ausgewählt weil ich in der nächsten Aufgabe die Nullen am ende der Dezimaldarstellung von 1248! ausrechnen muss und schon auf den Trichter gekommen bin, dass ich durch die 5er potenzen der Primfaktorzerlegung teilen muss und dies irgendwas mit dieser Aufgabe zu tun haben muss)
So Jetzt komm ich aber nicht weiter. Worüber muss ich meine Induktion laufen lassen? Über p oder n? Zudem, was muss ich für die andere Variable in dem fall annehmen? Wenn ich die Induktion über p Laufen lasse, dann fange ich mit dem I.A an bei: v1(n!)=max {k∈N0 | 1k | n!}, da 1 ja jedes n teilt bzw. damit auch jede n! und 1k=1 Käme ich hier ja Unendlich raus. Bei der Summe Läuft es genau so ab. Jetzt hab ich es mal mit p=2 Probiert und komme auf das Problem, dass ich jetzt ja verschiedene Möglichkeiten für das Ergebnis hab, da ich bei n=2 ja auch auf 1 komme, ich aber jedoch nicht annehmen kann, dass n immer durch 2 teilbar ist. Oh mann bin ich verwirrt....
Wenn ich jetzt versuche die induktion über n Laufen zu lassen fehlt mir ja das p....
Das ist das erste mal, dass ich eine Induktion mache mit 2 Variablen deswegen bin ich hier total ratlos... oder ist induktion vielleicht der komplett falsche weg?
Zudem würde ich noch für eine andere Aufgabe wissen ob und wie es möglich ist [(n+1)/k] aufzuspalten, da ich ich hier nur [n/k] brauche. Da bin ich schon so weit, dass [n/k] + [1/k] nichts bringt, da [1/k] für k>1 immer null ist und das Ergebnis verfälscht...
