Analysis vollständig Induktion: Produkt von Primzahlen

Question

a) Beweisen Sie folgende Variante des Prinzips der vollständigen Induktion:
Für jedes n ∈ N sei eine Aussage A(n) gegeben, sodass gilt:

i. A(1) ist wahr.
ii. Falls A(k) für alle k < n wahr ist, so ist auch A(n) wahr. Dann ist A(n) wahr für alle n ∈ N.

b) Zeigen Sie, dass sich jede natürliche Zahl n ≥ 2 als Produkt von Primzahlen schreiben lässt.

Answer 1

Du solltest mit b) anfangen, denn dabei ist a) zu benutzen. Da merkst Du gleich, ob Du ueberhaupt verstanden hast, was in a) ausgesagt ist.

Einen formalen Beweis zu a) kann man z.B. mit dem Prinzip vom kleinsten Element machen. Dieses Prinzip ist bekanntlich aequivalent zum Induktionsprinzip in seiner urspruenglichen Fassung. Sei also \(F\) die Menge aller natuerlichen Zahlen \(n\), für die \(A(n)\) falsch ist. Wenn \(F\ne\emptyset\), dann hat \(F\) ein kleinstes Element \(m>1\), da \(A(1)\) nach (i) ja richtig ist. Es ist also \(A(m)\) falsch, waehrend \(A(1),\ldots,A(m-1)\) noch richtig sind. An dieser Stelle solltest Du etwas bemerken.

Comments

hallo gibt es denn jetzt einen beweis für aufg B.?????