Wie bestimme ich den Streckfaktor a und b bei einer Exponentialfunktion ohne Punktprobe?

Question

Mal angenommen ich habe die Funktion

f(x) = a*e^(b*(x-d))+e also

f(x) = 3*e^(2*(x+2))+4 gegeben. Diese Funktion wüsste ich jetzt nicht, ich hätte nur einen Graph gegeben.

Wie man d und e bestimmt ist einfach, doch wie bestimme ich a und b ohne Punktprobe bzw. wie geht dies allgemein?

Danke

EDIT(31.5.2018: 20:20): Exponent korrigiert gemäss Kommentar. 

Comments

EDIT: Du hast oben einen Caret-Fehler oder sonst einen Fehler in der Eingabe (?)

Originalklammerung in der obigen Frage:

f(x) = a*e^ (b*(x-d)+e also
f(x) = 3*e^ (2*(x+2)+4 gegeben.

D.h. es fehlte eine schliessende Klammer. Ausserdem kann der Parser schliessende Klammern im Exponenten nicht automatisch umwandeln. Daher ein Konflikt und es ist nicht ganz klar, wie das eigentlich aussehen sollte. 

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Stimmt, mein Fehler :

f(x) = 3*e^(2*(x+2))+4

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Ok. Habe das oben soeben berichtigt. 3+4 ist der y-Achsenabschnitt der Funktion f.

y=4 die horizontale Asymptote (Grenzwert für x gegen - unendlich).

Ich glaube ihr seid inzwischen fertig.

Answer 1

Du brauchst bei vier Unbekannten einer Gleichung vier Eigenschaften, die die Funktion erfüllen muss. Dann ist das nur noch ein zu lösendes Gleichungssystem. Wie das dann am besten zu lösen ist, hängt ganz vom Funktionstyp ab. Man kann dabei auch Pech haben, da es vorkommen kann(je nach Funktionstyp), dass sich das Gleichungssystem nicht algebraisch lösen lässt und man sich daher nur numerisch an eine bestmögliche Lösung herantasten kann.

Frage beantwortet?

Comments

Ja aber bei einer Parabel lässt sich a auch mit dem Graphen ermitteln. Wenigstens den Parameter a oder besser gesagt welche Form brauche ich um diese Parameter abzulesen?

Bei f(x) = a*b^x geht das ja auch ohne Rechnung.

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Gib mal ein konkretes Beispiel, wo du der Meinung bist, dass man es ablesen kann. Stelle mir das bei a*b^x nämlich nicht so einfach vor, auf anhieb erkennen zu können, wie beide gewählt werden sollen.

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Hier habe ich mal eine Gleichung der Form f(x)=a*b^x genommen. Wie lauten die Parameter a und b, ohne ein LGS zu lösen?

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Also b = 2 und a = 3 , b wegen Wachstumsfaktor 2.

f(x) = 3*2^x für P(0/3)

3 = 3*2^0

3 = 3

Würde ich jetzt sagen, andere Punkte gibt es nicht.

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a=3 ist richtig. Das sieht man wirklich, weil b^0=1 ist. Aber b stimmt nicht. Es muss b=2,5 sein. Wie bist du auf b gekommen? Oder um es gleich auf die Spitze zu treiben. Wie würdest du dann vorgehen, wenn ich den Graphen irgendwo dargestellt hätte, sodass du nichteinmal den Schnitpunkt mit der y-Achse siehst? 

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Ich hatte damit gerechet das der Graph für P(1/9) bzw. P(0/3) geht, aber es wahr wahrscheinlich schon früher Schluss. Tatsächlich war es P(1/7,5) also

7,5/3 = 2,5.

Das mit der Streckung war halt meine Frage.

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Ok, ich verstehe was du meinst. Du betrachtest direkt den Punkt P(1/f(1)).

Dann musst du aber beim Ablesen bei diesem Punkt vorsichtig sein. In der Tat ließe sich so b ermitteln, vorausgesetzt du siehst den Punkt P(1/f(1)) im Bild. Beim obigen Beispiel ist er knapp nicht zu sehen, d.h du müsstest Glück haben, dass er noch zu sehen ist.

Wenn man P und den Schnittpunkt mit der y-Achsr sehen würde, dann ist die Sache einfach. b=f(1)/a, für f(x)=a*b^x.

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Ich betrachte halt diese Form der Funktion als Wachstumsfunktion, aber die Streckung macht mir zu schaffen.

Bei einer Quadratischen Funktion kann man ja auch a vom Schaubild ablesen.

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Ja, aber du wirst bei komplizierteren Wachstumsfunktionen nicht die einzelnen Parameter ablesen können!

Im Exponenten können zahlreiche weitere Variablen stehen, die im Kontext ihre Bedeutung haben werden.

Mal ein hässliches Beispiel:

$$ f(x)=(a+b)*c*g^{x+2k},\quad a,b,c,g>0$$

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Hmm okay dann muss ich wohl mit einem LGS arbeiten.

Eine andere Frage :

„Begründen Sie : Eine Gleichung 3.Grades hat mindestens eine Lösung.“

Ich hätte die Idee den Limes aufzustellen :

lim ax^3+bx^2+cx+d ; a u 0

x - > +-unendlich

Würde das gehen?

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Ja, das geht, da du siehst, dass der Grenzwert für lim x gegen +∞ und einmal für lim x gegen -∞ nämlich ±∞ sein wird, je nach dem, ob die Koeffizienten positiv oder negativ sind.

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Kann ich einfach für x unendlich einsetzen oder muss ich es anders lösen?

Unendlich ist ja keine „Zahl“.

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Du machst einfach eine Grenzwertbetrachtung für positive und negative x.

$$ \lim_{x \to +\infty}{ax^3+bx^2+cx+d}\\ \lim_{x \to -\infty}{ax^3+bx^2+cx+d} $$

Und das mit Fallunterscheidung für positive und negative a. Die anderen Koeffiezienten sind zu vernachlässigen, da x^3 am schnellsten wächst.

Answer 2

f ( x ) = a * e^{b*[x-d]} + e
Die Funktion hat 4 Variable
Du nimmst 4 Punkte aus dem Graphen
und setzt diese in die Funktion ein. dann heißt es
rechnen.
4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

Comments

Ja aber die Asymptote lässt sich herauslesen und auch die Verschiebung. Somit wären es nur 2 Unbekannte. Doch wie bestimme ich die ohne ein LGS?

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Du wirst nicht drumherum kommen, ein LGS zu lösen.