(x-1)^2 (x+2) = 4(x+2)

Question

Welche reelle Lösungen besitzt die folgende Gleichung ?

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4=(x-1)^2

±2=x-1

x_(1,2)=1±2

x_(1)=-1

x_(2)=3

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Tipp:  \(0=(x-1)^2(x+2)-4(x+2)=\big((x-1)^2-2^2\big)(x+2)=(x-3)(x+1)(x+2)\).

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Du kannst nicht einfach durch x+2 dividieren.

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Doch kann ich schon. Ich schließe einfach -2 als Lösung aus.

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Du kannst aber nicht einfach \(-2\) als Lösung ausschließen, koffi123. Denn für \(x = -2\) ist die Gleichung erfüllt. \(-2\) ist eine Lösung.

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-2 ist eine Lösung.

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Das ist in der Tat ungünstig.

Answer 1

\({(x-1)}^2\cdot (x+2) = 4\cdot (x+2)\)

1. Fall: \(x + 2 = 0\) bzw. \(x = -2\)

In diesem Fall erhält man die wahre Aussage \(0 = 0\), weshalb \(x = -2\in\mathbb{R}\) eine reelle Lösung der Gleichung ist.

2. Fall: \(x + 2 \ne 0\) bzw. \(x \ne -2\)

In diesem Fall kann man bei der Gleichung durch \(x + 2\) dividieren. \[{(x-1)}^2\cdot (x+2) = 4\cdot (x+2)\]\[\Longleftrightarrow {(x-1)}^2 = 4\]\[\Longleftrightarrow x-1 = \pm \sqrt{4}\]\[\Longleftrightarrow x-1 = \pm 2\]\[\Longleftrightarrow x = 1\pm 2\]
Demnach erhält man die weiteren Lösungen \(x = 1 - 2 = -1\in\mathbb{R}\) und \(x = 1 + 2 = 3\in\mathbb{R}\).

Ergebnis:

Die rellen Lösungen sind \(x = -2\) bzw. \(x = -1\) bzw. \(x = 3\).

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Alternativ kann man auch so vorgehen, wie es nn bereits als Tipp gegeben hat ...

\({(x-1)^2} \cdot (x+2) = 4\cdot (x+2)\)

\(\Longleftrightarrow\quad {(x-1)^2} \cdot (x+2) - 4\cdot (x+2) = 0\)

\(\Longleftrightarrow\quad \left({(x-1)^2} - 4\right)\cdot (x+2) = 0\)

\(\Longleftrightarrow\quad \left({(x-1)^2} - 2^2\right)\cdot (x+2) = 0\)

\(\Longleftrightarrow\quad (x-1 - 2)\cdot (x-1 + 2)\cdot (x+2) = 0\)

\(\Longleftrightarrow\quad (x-3)\cdot (x + 1)\cdot (x+2) = 0\)

\(\Longleftrightarrow\quad x-3 = 0 \text{ oder } x + 1 = 0 \text{ oder } x+2 = 0\)

\(\Longleftrightarrow\quad x = 3 \text{ oder } x = -1 \text{ oder } x= -2\)