Mit Gauß-Jordan-Verfahren komplexe Lösung bestimmen

Question

ich habe folgende Aufgabe und Frage dazu:

Bestimmen Sie mithilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens die komplexen Lösungen des folgenden Gleichungssystems:

x₁ + j x₂ + (j - 1) x₃ = 1

j x₁ + x₃ = 2

(1 + j) x₁ - 2jx₂ + (1 + j) x₃ = j

Meine Frage:

Ich möchte diese Aufgabe selbst lösen, sonst komme ich in der Klausur nicht weiter. Bevor ich mit dem Verfahren beginne, möchte ich wissen, ob nachfolgende Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix des obigen Gleichungssystems ist:

$$ \left( \begin{array}{cc}1 & j & j-1 \\ j & 0 & 1 \\ 1+j & -2j & 1+j \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ j \end{array}\right) $$

Wenn das korrekt ist, mache ich mit dem Verfahren weiter und teile die Lösung.

Answer 1

Hallo

ja, deine Matrix ist richtig.

Gruß lul

Comments

Habe nun folgendes gemacht (hat über 2 Stunden gedauert):

$$ \left( \begin{array}{cc}1 & j & j-1 \\ j & 0 & 1 \\ 1+j & -2j & 1+j \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ j \end{array}\right) \underrightarrow{ZA_{21}(-j)\\ZA_{31}(-1+j)} \left( \begin{array}{cc}1 & j & j-1 \\ 0 & 1 & 2+j \\ 0 & -1-3j & 1-j \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 1 \\ 2-j \\ -1+2j \end{array}\right) \underrightarrow{ZA_{32}(1+3j)} \left( \begin{array}{cc}1 & j & j-1 \\ 0 & 1 & 2+j \\ 0 & 0 & 6j \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 1 \\ 2-j \\ 4+7j \end{array}\right) $$

$$\underrightarrow{ZM_{3}(\frac{1}{6j})} \left( \begin{array}{cc}1 & j & j-1 \\ 0 & 1 & 2+j \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 1 \\ 2-j \\ \frac{4+7j}{6j} \end{array}\right) \underrightarrow{ZA_{13}(-j+1)} \left( \begin{array}{cc}1 & j & 0 \\ 0 & 1 & 2+j \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} \frac{9j+11}{6j} \\ 2-j \\ \frac{4+7j}{6j} \end{array}\right) \underrightarrow{ZA_{23}(-2-j)} \left( \begin{array}{cc}1 & j & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} \frac{9j+11}{6j} \\ \frac{5-6j}{6j} \\ \frac{4+7j}{6j} \end{array}\right) \underrightarrow{ZA_{12}(-j)} \left( \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} \frac{4j+5}{6j} \\ \frac{5-6j}{6j} \\ \frac{4+7j}{6j} \end{array}\right)$$

Es kann sein, dass ich mich bei den komplexen Berechnungen vertan habe. Hoffentlich ist alles soweit in Ordnung :(

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Hallo

sieht gut aus, ich würde noch statt 1/6j=-j/6 schreiben, dann kannst du leichter einsetzen und überrprüfen,ich hab nicht alles nachgerechnet!

Gruß lul

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Ok, danke für dein Kommentar. Habe ich denn das Verfahren richtig angewendet? Ich habe z.B. im ersten Schritt die 1 in erste Spalte erste Zeile gar nicht berechnet, weil dort schon eine 1 stand und ebenfalls bei Zeile 2 Spalte 2.

Ziel ist ja, dass man folgende Matrix haben will:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

um die Lösung abzulesen. Kann man also beim Berechnen die Stellen überspringen wo schon eine 0 oder 1 an der richtigen Stelle steht?

Ich habe nach dieser Reihenfolge gerechnet: https://www.matheretter.de/wiki/determinanten#gaussjordan

Unten auf der Seite ist die Reihenfolge angegeben. Dort steht aber nicht, dass man einen Schritt überspringen kann. Ich frage deshalb, weil das wahrscheinlich in der Klausur drankommt und ich das Verfahren beherrschen will.

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Hallo

ja, wenn da schon 0 steht bzw. 1 musst du nichts mehr tun, es verkürzt einfach die Rechnung.

Gruß lul