Implizite Funktion, Gleichungssystem

Question

Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Ich soll zeigen, dass die Gleichung (x² + y²)²−2(x²−y²)+1/4=0 in der Nähe von (x,y)^T=(√6/4,√2,4)^T nach y=h(x) aufgelöst werden kann.

Das habe ich bereits gezeigt. Nun soll ich noch das zweite Taylorpolynom von h bestimmen.

Wie gehe ich da am besten vor? Ich habe ja keine richtige Funktion für h, bei der ich das TP bilden könnte.

Answer 1

Du brauchst ja nur h(√6/4) = √2,4

mit dem Satz über die Abl. der impl. Funktionen

und h ' (√6/4)  = - F_x/F_y   und

     h ' ' (√6/4)  = -  ( F_xx * F_y^2 +F_yyF_x^2 -2F_xy*F_x*F_y ) / F_yy^3

  mit F(x,y) = (x^2 + y^2)^2−2(x^2−y^2)+1/4     jeweils an der

Stelle (√6/4) ; √2,4).

siehe etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Höhere_Ableitungen

Comments

Danke für die Antwort. Habe die Aufgabe lösen können