Question

Sei V ein K-Vektorraum und U1, . . . , Uk seien K-Untervektorräume von V . Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind (Beweis oder Gegenbeispiel):

(a) Falls die Summe U1 + . . . + Uk direkt ist, so gilt Ui ∩ Uj = {0V } für alle
1 ≤ i, j ≤ k mit i ≠ j.
(b) Falls Ui ∩ Uj = {0V } für alle 1 ≤ i, j ≤ k mit i ≠ j, so ist die Summe
U1 + . . . + Uk direkt.

Ich weiss, dass diese Aufgabe bereits hochgeladen wurde, jedoch ist dort keine Lösung gegeben und ich komme nicht weiter und bräuchte deshalb einen Lösungsweg und eine Lösung.

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Vom Duplikat:

Titel: Sei V ein K-Vektorraum und U1, . . . , Uk seien K-Untervektorräume von V .

Stichworte: lineare-algebra

Sei V ein K-Vektorraum und U1, . . . , Uk seien K-Untervektorräume von V . Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind (Beweis oder Gegenbeispiel):

(a) Falls die Summe U1 + . . . + Uk direkt ist, so gilt Ui ∩ Uj = {0V } für alle 1 <= i, j  <=k mit i ̸= j.

(b) Falls Ui ∩ Uj = {0V } für alle 1 <=  i, j <= k mit i ̸= j, so ist die Summe U1 + . . . + Uk direkt. 

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Hier ist die Aufgabe, ich weiß nicht genau wie ich anfangen soll.

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Wie habt ihr denn "direkte Summe" definiert ?

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Definition 24.1.3 Seien V1, V2, . . . , Vk Untervektorräume von V . Dann heißt die Summe
W = V1 + · · · + Vk direkt, falls jeder Vektor v ∈ W eindeutig in der Form v = v1 + · · · + vk
mit vi ∈ Vi, i = 1, . . . , k, geschrieben werden kann.
Wenn die Summe direkt ist, bezeichnen wir sie als V1 ⊕ · · · ⊕ Vk oder
k
⊕       Vi.
i=1        

Answer 1

(a) Sei die Summe U1 + . . . + Uk direkt

und gebe es i,j mit 1 ≤ i, j ≤ k mit i ≠ j und   Ui ∩ Uj ≠ {0_V }.

also gibt es u ∈ Ui ∩ Uj   und u ≠ 0 , und weil Uj ein Unterraum ist, ist auch -u_j in U_j.

Dann gibt es zwei verschiedene Summendarstellungen für den 0-Vektor

nämlich  0+0+0+.... +0  = 0   (alle Summanden = 0 )

und       0+0+..ui + 0 + 0 + (-uj) + 0 = 0.

Die sind verschieden, weil bei dem einen alle Summanden 0

sind, und bei dem anderen 2 nicht 0 sind.

Answer 2

a ist richtig. Versuch es doch mit einem Widerspruchsbeweis.

b ist falsch. Versuche ein Gegenbeispiel zu konstruieren.

Ein guter Anfang ist es sich nochmal die wichtigen Definition anzuschauen und zu prüfen ob man wirklich versteht was vorausgesetzt ist und was behauptet wird.

Gruß