Grenzwert x/(x^x-1)=0 (x->0) beweisen...

Question

Wolfram Alpha z.B. wird die Aussage oben bestätigen.

Erste Ansätze:

x/(x^x-1)=0 (x->0)

<=>

y^{1/y-1}/(1-y^{1/y})=0 (y->unendlich) mit y=1/x

Vielleicht einen Tipp oder Link, jemand ?

Comments

du kannst diesen Ausdruck nachoben abschätzen.

Dazu muss man für alle x>1, x∈ℝ einen Nennerausdruck finden, der kleiner als der Nenner im Ausgangsterm ist. Offensichtlich gilt  $$ x^2-x<x^x-1. $$

Nun kannst du damit die Abschätzung machen:

$$ \frac{x}{x^x-1}<\frac{x}{x^2-x}=\frac{1}{x-1} \stackrel{x \to \infty}{\longrightarrow}  0.$$

EDIT:

Man schreibt es statt wie in der Überschrift eigentlich so hier:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^x-1}=0,$$ statt $$\frac{x}{x^x-1} =0 $$zu schreiben. Denn das hat eine andere Bedeutung.

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x soll gegen 0 streben.

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Oh, dann tut es mir Leid. Ich hab warum auch immer ∞ gelesen.

Kann man meinen Beitrag noch löschen?

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Selig sind die Einfallslosen, denn ihrer ist der L'Hospital. Der geht hier. Man muss nur \(\lim_{x\to0^+}x^x=1\) wissen, was sich ebenfalls mit L'Hospital ergibt.

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Vom Duplikat: EDIT (Lu) umgeleitetes Feedback. 

Titel: Hallo und Danke schön für x/(x^{x}-1)=0 (x->0) !

Stichworte: grenzwert

Ich nutze eine Fake-Frage, um

als Gast mit euch zu kommunizieren.

Ich hab nämlich grad eben als Gast diese x/(x^x-1)=0 (x->0)

Frage gestellt...

Also, erstmal Danke für die Antworten !

Ja, aber Hospital willichnich, weil das hier

ist von Seite 150 aus'm Ana 1 Buch und

diesen Satz gibt's da so gesehen noch nicht.

x^x=1 (x->0) hab ich übrigens auch ohne

diesen Wundersatz hingekriegt - nämlich

mit y^{1/y}=1 (y->unendlich)

dassisdann y^{1/y}<1/(1-eps) mit eps Elemen ]0,1[

ab irgendeinem y>0 und dann |1-(1/y)^{1/y}|<eps

und x=1/y zurücktauschen und das bedeutet

dann Konvergenz...

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EDIT: Habe deine erneute "Frage" hierhin umgeleitet und die ursprüngliche Antwort von hallo97 in einen Kommentar umgewandelt.

@Gast. Bitte registriere dich, damit du dort kommentieren kannst, wo du willst. Und: Bitte Schreibregeln beachten und deine Fragen in Zukunft von Anfang an so formulieren, dass keine anderen Lesarten möglich sind.

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lim x −> 0 [ x / (x^x-1) ] = 0

Answer 1

Setze z.B. $$\phi(x)=\frac{x}{e^x-1}$$ und ergaenze noch \(\phi(0)=1\). Dann ist \(\phi\) ueberall stetig. Es ist dann $$\frac{x}{x^x-1}=\frac{\phi(x\log x)}{\log x}.$$ Wenn man \(\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty\) und \(\lim_{x\to0^+}x\log x=0\) weiss, geht die Sache glatt zu Ende.

Answer 2

Tip:

betrachte

f(x)=x^x-1,f(0):=0

und den Differentialquotienten an der Stelle 0

Answer 3

     Was du wissen musst; soll ich die Beweise nachreichen ?

        f  (  x  )  :=  x  ^  x            (  1a  )

      lim  f  (  x  )  =  1     (  1b  )

    Dann ist doch       (  2a  )

                                       f ( x ) - 1

     F  (  x  )  :=          ------------------------          (  2b  )

                                            x

  

    nichts weiter als der Differenzenquotient  ( DQ ) von ( 1a ) , genommen zwischen x0 = 0 und der beliebigen Stelle  x  -  schlicht und ergreifend wegen   ( 1b )   Und der  GFrenzwert dieses  DQ  , das wisst ihr, beträgt  f ' ( 0 )  Nun ist aber

     f  '  (  x  )  =  [  ln  (  x  )  +  1  ]  f  (  x  )         (  3a  )

   Am Einfachsten folgt ( 3a )  durch ===>  logaritmisches Differenzieren .  Es ist aber auch zulässig, analog der Produktregel erst nach der Basis abzuleiten und dann nach dem Exponenten.   Mit  ( 1b ) fliegt dir ( 3a ) voll um die Ohren

      f  '  (  0  )  ===>  (  -  °°  )    (  3b  )

   Was du betrachtest, ist quasi der Kehrwert dieses  DQ    ( 2b )

Comments

Dass man \(f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}f'(x)\) rechnen kann (und unter welchen Voraussetzungen), waere zu beweisen. Sonst ist das nur hemdsaermlige Schlamperei.

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   Die Krankenhausregel führt Haar genau zu dem  selben Ergebnis - was hast du auf einmal  gegen die Krankenhausregel?

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Es ist nun mal $$f_+'(0):=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}.$$ Wer dann $$f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}f'(x)$$ rechnen will, muss das begruenden koennen.

Answer 4

Vorberechnungen
lim x −> 0 [ x^x ] = 1
( x^x ) ´ = [ x^x * ( ln ( x ) + 1 ) ]

lim x −> 0 [ x / (x^x-1) ] = 0 / ( 1 -1 ) = 0 / 0
Ein Fall für L´Hospital

x ´ / ( x^x - 1 ) ´ = 1 / [ x^x * ( ln ( x ) + 1 ) ]
lim x −> 0 [ 1 / ( 1 * ( -∞ + 1 ) ) = 1 / -∞ = 0

Also
lim x −> 0 [ x / (x^x-1) ] = 0