Kombinatorik. Anzahl 5-stellige Codes, die genau 3 Ziffern enthalten ohne 4 und 0 ?

Question

- Warum ist folgende Lösung korrekt?

Ich habe kürzlich die folgende Übungsaufgabe gefunden, kann aber die Lösung nicht nachvollziehen bzw. nicht selber herleiten:

Herr Reichlich stirbt unerwartet und nimmt das Codewort zu seinem Tresor mit ins Grab. Seine Angehörigen
wissen nur, dass der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0
und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Lösung: \({8 \choose 3} \cdot [2\cdot 3 \cdot {5 \choose 2}+3\cdot {5 \choose 2}{3 \choose 2}]=8400\)

Ich verstehe, dass ich aus 8 verfügbaren Ziffern (ohne 0 und 4), drei auswählen muss. Außerdem weiß ich auch, dass man diese natürlich von den restlichen trennen muss, weil sie ja wieder alle Ziffern beinhalten können. Daher kann ich aber nicht verstehen, warum man in der Lösung nun 2 aus 5 Ziffern auswählt, anstatt 2 aus 10, weil doch wieder alle Ziffern erlaubt sind? "\(10 \choose 2\)"

Außerdem kann ich nicht nachvollziehen, warum man nochmal die Anzahl der Ziffern ohne 0 und 4 mit der restlichen Ziffer-Anzahl multiplizieren muss:

\([2\cdot 3 \cdot {5 \choose 2}+3\cdot {5 \choose 2}{3 \choose 2}]\)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Stichworte: wahrscheinlichkeit

Aufgabe:

Herr Reichlich stirbt unerwartet und nimmt das Codewort zu seinem Tresor mit ins Grab. Seine Angehörigen
wissen nur, dass der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0
und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Problem/Ansatz:

Die Lösung lautet (8 über 3) * [3 * (5!/3!) + 3 * (5!/(2!2!))] = 8400. Wie kommt man auf darauf? Verstehe es nicht.

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siehe "Kombinatorik. Anzahl 5-stellige Codes, die genau 3 Ziffern enthalten ohne 4 und 0 ?"

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Danke für den Hinweis, @Doesbaddel.

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Gerne, gerne. :)

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@Utz.938 (Rück-)Fragen bitte als Kommentar unter der Originalfrage.

Answer 1

Wie würdest du denn rechnen?

Übersetze jeden Teilsatz der Fragestellung in einen Term oder fange einfach mal an, die Möglichen Kombinationen systematisch aufzuzählen.

Bsp. für einen Anfang:

11123

11125

11126

11127

11128

11129

11134

....

Comments

Danke für die Antwort. Ich habe leider voll vergessen, hier nochmal vorbeizuschauen. Ich habe die Aufgabe jetzt verstanden. Sie ist ein wenig undeutlich formuliert und deshalb konnte ich das nicht ganz nachvollziehen.