Alle Untervektorräume von K^3 finden (modulo 2)

Question

es geht um folgendes. Ich habe die Menge $$ \mathbb{K}:=C_2=\{\overline{0},\overline{1}\} $$ und gesucht sind alle Untervektorräume von $$ \mathbb{K}^3. $$

Nur irgendwie habe ich nicht so wirklich Ahnung wie man die finden soll. Bei anderen Beispielen, die ich hier in den Foren (und andere) gelesen habe, war auch bereits von Dimension und Basis die Rede. Nur bei meiner Aufgabe kommt nichts davon vor, bzw., ist auch davor noch nicht die Rede gewesen.

Das einzige, was ich schonmal brauchbar fand, ist die Definition des Unterraumes heranzuziehen. Doch vorher habe ich den gegeben Vektorraum etwas umschrieben: $$ \mathbb{K}^3=C_2^3=C_2\times C_2\times C_2=\{(x_1,x_2,x_3):x_1\in \{\overline{0},\overline{1}\},x_2\in \{\overline{0},\overline{1}\},x_3 \in \{\overline{0},\overline{1}\}\} $$

Nun zu meinem Versuch:

Es muss aufjedenfall der Nullvektor enthalten sein, also: $$ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix} $$

Dann soll ebenso die Abgeschlossenheit der Addition und die der Multiplikation erfüllt sein. Und da habe ich mir diese Vektoren überlegt:

$$ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix} \quad \overline{a}=\overline{r(a;2)},a\in \mathbb{Z} $$

Ist das schon die Menge aller Untervektorräume???

$$ U:=\Bigg\{\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\} $$

Comments

Du kannst Dir zuerst mal ueberlegen, dass in Deinem Raum zwei verschiedene Vektoren, von denen keiner der Nullvektor ist, immer linear unabhaengig sind. Das erlaubt schon mal unmittelbar die Angabe aller eindimensionalen Unterrraeume. Was noch?

Answer 1

Ich sehe es so:

Es muss auf jeden Fall der Nullvektor enthalten sein,

Damit hast du schon mal einen   U1=Menge mit dem Element $$\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix} $$.

Es gibt ja insgesamt nur 8 verschiedene Vektoren, einer ist der Nullvektor,

jeder andere erzeugt einen 1-dimensionalen Unterraum, also gibt

es 7 eindimensionale Unterräume.

2-dimensionale gibt es drei nämlich alle, die in einer Komponente

eine 0 enthalten und ansonsten irgendwas.

Und dann noch den dreidimensionalen K^3 .

Also insgesamt 1+7+3+1=12 Stück.

Comments

danke erstmal. Nur kam bei mir der Begriff der Dimension noch nicht vor. Und warum macht man das ausgerechnet so? Warum betrachtet man zuerst jeden möglichen Vektor einzeln, dann in Zweierpaaren und dann zu dritt???

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Dimension ist die Anzahl der basiselemente.

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Basis kam leider auch noch nicht vor. -.-

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Sage am besten, was du kennst. Erzeugendensystem vielleicht ?

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Ok. Bisher hatte ich:

-Vektorräume (ihre Axiome)

-K^n ist mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein K-Vektorraum

-Rechenregeln für einen K-Vektorraum

-Die Menge V ist ein Untervektorraum in V, genauso wie der Nullvektor

-Untervektorräume (ihre Axiome)

-Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum; die Vereinigung jedoch im Allgemeinen nicht.

EDIT: V wird bei mir als K-Vektorraum bezeichnet.

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Achso und Erzeugendensystem hatte ich auch noch nicht.

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Da musst du wohl bei allen vorgschlagenen UVR die UVR-Axiome (alternativ die VR-Axiome) prüfen.

Der Nullvektor ist ja schon mal in allen enthalten.

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Ja, dass der Nullvektor drin ist leuchtet mir auch aus der Definition des Untervektorraumes ein. Aber wie kommt man dann auf den Rest? Ich hatte ja noch ein paar andere Vektoren angegeben. Diese hier:

$$ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix} \quad \overline{a}=\overline{r(a;2)},a\in \mathbb{Z} $$

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Ich habe mir mal weiter Gedanken gemacht und mal alle mögliche acht Vektoren aufgeschrieben:
$$ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{a} \\ \overline{a} \end{pmatrix} $$

Nun dachte ich mir, dass doch jeder einzelner Vektor doch schon selbst ein Untervektorraum ist. Nun wollte ich die drei vorhandenen Vektoren, bei denen zwei Komopenten nicht Null sind, durch zwei Vektoren ausdrücken, die nur eine Komponente ungleich Null haben. Genauso dann mit dem letzten Vektor, beidem jede Komponente ungleich Null ist. Dann müsste doch diese Menge hier alle Untervektorräume enthalten?

$$ U_{ges}:=\Bigg\{\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{a} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{a} \\ \overline{a} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{ \begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\},\Bigg\{\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0} \\ \overline{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{a} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix}\Bigg\}\Bigg\},\\ \quad \overline{a}=\overline{r(a;2)},a\in \mathbb{Z} $$

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Das a wäre wohl besser 1

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Warum eigentlich?

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Es gibt doch nur 0 und 1. Und 0 passt ja wohl nicht

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Und 0 passt ja wohl nicht

Tippfehler? Oder was meinst du damit???

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Für a darf man nicht 0 einsetzen.

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Warum? Ich rechne Modulo 2. Und da kommt immer nur 0 oder 1 als mögliche Zahl raus.

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Setze mal für a Null ein und schaue dein Unterräume an .

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Dann erhalte ich den Nullvektor. Aber in jedem Untervektorraum muss doch der Nullvektor enthalten sein.

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Und wenn ich doch statt dem a, die 1 nehme, wie soll dann noch der Nullvektor enthalten sein?

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Ich geb Dir mal ein paar Tipps:

1) Die Moeglichkeiten zur Multiplikation mit Skalaren sind sehr uebersichtlich.

2) Jeder Vektor ist sein eigenes Inverses.

3) Explizite Beispiele für nichttriviale Unterraeume sind $$U_1=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$$ und $$U_2=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}.$$

4) Alle nichtrivialen Unterraeume haben zwei oder vier Elemente.

5) Von den zweidimensionalen (denen mit vier Elementen) gibt es mehr als drei.

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Ok, also 1 und 2 leuchten ein, da ich mich in C_2 befinde. Aber, wie ist hier das Wort ,,nichttrivial'' gemeint. Das bringt mich durcheinander. Das Wort Trivial kenn ich im Zusammenhang, dass etwas sofort aus etwas - z.b. einer Definition - folgt, ohne es weiter begründen zu müssen. Und könnte man nicht U_2 auch gleich so schreiben?

$$ U_2=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\}. $$ Denn ich kann ja den Nullvektor dadurch bekommen, indem ich einen Vektor ,,mit sich'' selbst addiere, bzw. den anderen, indem ich beide addiere, also

$$ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[40pt]\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $$

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Jeder Vektorraum hat trivialerweise den Nullraum und sich selber als Unterraum. Folgt wie gewuenscht direkt aus den Definitionen.

In einer explizit hingeschriebenen Menge sind genau die Elemente drin, die man hingeschrieben hat. Andere nicht. Auch dann nicht, wenn man sie als Summe von hingeschriebenen darstellen kann. Unterraeume sind Mengen.

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Also, ich habe bisher folgende Untervektorräume finden können:

$$ U_1=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}\\U_2=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_3=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\\U_4=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_5=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}\\U_6=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_7=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\\U_8=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_9=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_{10}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_{11}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\\U_{12}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\} $$

Bis hier dachte ich, dass ich alle gefunden habe. Aber dann sind mir noch diese eingefallen:

$$ U_{13}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\\U_{14}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\U_{15}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\} $$

Ab hier war ich nur noch verwirrt gewesen. Ich bin mir einfach nicht sicher, ob das schon alle sind, bzw., finde ich keinen vernünftigen Ansatz, systematisch vorzugehen, um wirklich alle finden zu können.

Ich habe halt ewig rumprobiert, ob es passt...

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Du hast ja wohl gemerkt, dass jeder vierelementige Unterraum von der Form \(\{0,u,v,u+v\}\) ist -- mit \(u,v\) verschieden und beide \(\ne0\). Schreib halt alle 21 Moeglichkeiten hin und entferne, was mehrfach in der Liste auftaucht.

Es sollten sieben verschiedene sein. (Was man sich auch direkt ueberlegen kann, wenn ich richtig gedacht habe).

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Du hast ja wohl gemerkt, dass jeder vierelementige Unterraum von der Form $$ \{0,u,v,u+v\} $$

Jetzt, wo du es sagst, stimmt. Das ist mir nicht wirklich so direkt aufgefallen. Ich habe halt wirklich nur probiert. Die zweielementigen Unterräume zu finden war einfach. Aber bei den vierelementigen hat es echt geknirscht. Ich habe hier Probleme, mich dem ganzen mal kombinatorisch zu nähern, weil blind rumprobieren würde nicht vorm nächsten Sonnenaufgang enden. Nur weiß ich halt gar nicht, wie man hier kombinieren soll.

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Dann mach halt die Liste mit den 21 Eintraegen, entsprechend den erlaubten Paerchen \(u,v\). Die sollte locker noch vor Mitternacht fertig werden.

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Also ich habe nun folgende rausbekommen. Es sind sieben.

$$ \left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\\\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\\\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}\\\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\\\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\} $$

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In den Zeilen 1 und 2 steht die gleiche Menge. Ebenso in den Zeilen 3 und 4. Und in den Zeilen 5 und 6 auch. Und Zeile 7 ist wiederum die gleiche Menge wie Zeile 1 und 2. Das sind also nur drei. Fehlen tut z.B. mein Beispiel von oben. Also es gibt schon mindestens vier. Ich bin ja immer noch für sieben.

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Also langsam reichts mir...

Wie zum Teufel bist du auf 21 gekommen???

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Unten stehen die Untervektorräume

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\({7\choose2}=21\). So viele Moeglichkeiten gibt es, die beiden Elemente \(u,v\) auszuwaehlen, die dann den Unterraum \(\{0,u,v,u+v\}\) erzeugen.

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Ach stimmt. Und stimmen denn jetzt wenigstens die im Bild aufgeschriebenen Untervektorräume?

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Ich hab die komplette Liste nicht gemacht. :)

Dafuer hab ich mir ueberlegt, dass in der Liste jeder Unterraum dreimal vorkommen wird.

Answer 2

  Wenn du da Defizite haben solltest. Frankfurt war sicher besser als sein ruf; aber von Wiki war ich echt begeistert.  Dort findest du auch sämtliche Erläuterungen und Beweise; ich empfehle dir : Lerne es auswändig.

       SATZ  und DEFINITION

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´      Ein Vektorensystem heißt Basis, wenn eine der vier äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:

      1) Eindeutig                                      Erzeugendes

      2) Minimales                                               "

      3)                 Linear unabhängiges             "

      4) maximal        "               "

     ======================================================