Frage zu logischen Verknüpfungen

Question

folgende Wahrheitstabelle ist gegeben:

A	B	A*B
w	w	f
w	f	f
f	w	f
f	f	w

a) Welche einfache logische Operation liefert C*C?

Zu C gibt es keinen Kontext. Ich nehme mal an, dass das nur eine Gleichheit sein kann?

b) Folgern sie, dass sich die Verknüpfungen "Oder", "Und", "Implikation" und "Äquivalenz" ausschließlich durch * darstellen lassen. Geben sie Konkret die Darstellung von A $\wedge$ B an.

Hier bin ich echt ratlos. * ist doch nur ein Platzhalter, oder?

Answer 1

Zu C gibt es keinen Kontext.

Doch, den gibt's. Und zwar dass in dem Ausdruck A*B die Variablen A und B den gleichen Wert haben (nämlich den Wert von C).

* ist doch nur ein Platzhalter, oder?

Nein. Es ist die durch die Tabelle vorgegebene logische Verknüpfung. An der Tabelle kann man zum Beispiel ablesen, dass

        f*f = w

und

        w*w = f

gelten.

Comments

Also ist das mit der Gleichheit richtig?

* ist in dem Fall hier eine "Nicht-Oder"-Verknüpfung, aber A*B könnte doch bei einer Tabelle mit anderen Wahrheitswerten für eine andere Verknüpfung stehen. Deswegen verstehe ich auch nicht, was ich da folgern soll.

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Wenn C=w gilt, dann ist C*C=f

Wenn C=f gilt, dann ist C*C=W.

C*C liefert also die Negation von C.

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* ist in dem Fall hier eine "Nicht-Oder"-Verknüpfung

Das ist richtig.

Das beantwortet aber noch nicht die Frage, wie man C*C "einfacher" darstellen kann.

aber A*B könnte doch bei einer Tabelle mit anderen Wahrheitswerten für eine andere Verknüpfung stehen.

Das könnte es. Tut's aber im Moment nicht. Dein Prof hat dir * als die in dieser konkreten Wahrheitstabelle angegebene logische Verknüpfung hingeklatscht; für die Aufgabe hat * deshalb genau die dadurch festgelegte Bedeutung.

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Hm soll ich dann aus $$ \neg (A \lor B)$$ irgendwie ein $$(A \wedge B)$$ zusammensetzen? Das ist doch gar nicht möglich, oder?

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¬A ≡ A*A

A∨B ≡ (A*B)*(A*B)

A∧B ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ (((A*A)*(B*B))*((A*A)*(B*B)))*(((A*A)*(B*B))*((A*A)*(B*B)))

A→B ≡ ¬B∨A ≡ ((B*B)*A)*((B*B)*A)