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Jede natürliche Zahl kann in O(\(log_b k\)) Ziffern kodiert werden.
Um zu beweisen, dass jede natürliche Zahl \(k\) in \(O(\log_b k)\) Ziffern kodiert werden kann, wenn die Basis \(b > 1\) ist, können wir zunächst die Beziehung zwischen der Anzahl der Ziffern, der Basis \(b\), und der Zahl \(k\) selbst betrachten.
Nehmen wir an, dass \(k\) in der Basis \(b\) gerade \(n\) Ziffern hat. Die größte Zahl, die man mit \(n\) Ziffern in dieser Basis darstellen kann, ist \(b^n - 1\) (da bei \(n\) Ziffern von \(0\) bis \(b^n - 1\) alle Zahlen darstellbar sind).
Das bedeutet, dass für unsere Zahl \(k\), die eine Länge von genau \(n\) Ziffern hat, die Beziehung
\(b^{n-1} \leq k \leq b^n - 1\)
besteht.
Um zu erklären, wie viele Ziffern notwendig sind, um eine Zahl \(k\) zu kodieren, können wir diese Beziehung umformen, indem wir sie auf beide Seiten bezüglich \(b\) logarithmieren. Der Logarithmus ist hier eine geeignete Funktion, da er die Exponentialzahlen in lineare Werte umwandelt. Wir möchten herausfinden, wie \(n\) in Relation zu \(k\) steht, wenn \(b\) gegeben ist. Da \( k \geq b^{n-1} \), folgt durch Logarithmieren:
\(\log_b(k) \geq \log_b(b^{n-1}) = n - 1\)
Und da \( k \leq b^n - 1 \), gilt:
\(\log_b(k) \leq \log_b(b^n) = n\)
Diese Ungleichungen zeigen, dass \(n - 1 \leq \log_b(k) \leq n\). Das bedeutet, die Anzahl \(n\) der Ziffern, die benötigt wird, um die Zahl \(k\) in der Basis \(b\) zu kodieren, liegt strikt um \(1\) größer als der Logarithmus von \(k\) zur Basis \(b\), was ungefähr \(n \approx \log_b(k) + 1\) entspricht.
Daraus folgt, dass die Anzahl der notwendigen Ziffern, um eine Zahl \(k\) in einer beliebigen Basis \(b > 1\) darzustellen, durch die Größenordnung \(O(\log_b(k))\) beschrieben wird, da der zusätzliche Faktor \(+1\) in der O-Notation vernachlässigt wird.
Der gegebene Beweis verdeutlicht, dass die Anzahl der Ziffern, die notwendig sind, um irgendeine natürliche Zahl \(k\) in einer Basis \(b > 1\) zu kodieren, tatsächlich in der Größenordnung von \(O(\log_b k)\) liegt. Dies ist eine wesentliche Erkenntnis in der Informatik und Kodierungstheorie, die zeigt, wie effizient Zahlen in verschiedenen Basissystemen dargestellt werden können.
