Bestimmen Sie alle möglichen Parameter, sodass E durch die Lösungen der Gleichung ax1+bx2+cx3+d=0 beschrieben wird.

Question

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zu den Punkten v := (1,2,3) und w := (3,2,1) des ℝ³ betrachten wir die Ebene E := ℝv + ℝw.

Bestimmen Sie alle möglichen Parameter a,b,c,d ∈ ℝ, so dass E durch die Lösungen (x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³
der Gleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ + d = 0 beschrieben wird.

Liebe Grüße

Answer 1

Deine Punkte sind Vektoren, weil sie so verwendet werden.

Ist Dir das Vektorprodukt ⊗ ein Begriff und die Normalengleichung einer Ebene:

v⊗w((x,y,z)-p)=0

p=(0,0,0) ∈ E ===> d=0

Comments

Ja beides kenne ich.

Für das Vektorprodukt habe ich den Vektor (0,2,0) heraus.

Muss ich den Vektor nun als Normalenvektor in die Normalengleichung einsetzten und wähle ich dann einfach v oder w als Stützvektor?

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Dein Ergebnis ist falsch n=((-4), 8, (-4)) = ((-1), 2, (-1))

Der Stützvektor p=(0,0,0) - v,w sind Richtungsvektoren und bestimmen über das Vektorprodukt den Normalenvektor n. n ⊥ v ∧ n ⊥ w

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Oh, da hatte ich mich wohl irgendwie verrechnet.

Dann müsste folgendes gelten, oder?

\( \begin{pmatrix} -4\\8\\-4 \end{pmatrix} \) *  [ \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \) -\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)  ] = 0

also \( \begin{pmatrix} -4x1\\8x2\\-4x3 \end{pmatrix} \) = 0

und damit gilt die Gleichung -4x₁+8x₂+(-4)x₃ +0 =0  für a=-4 , b=8, c=-4 und d=0

Ist es so richtig und bin ich dann schon fertig?

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Ja, nur das Ergenbis eines Skalarprodukts ist kein Vektor

n (X-p) = 0 ===> n1 x + n2 y +n3 z =0 für p=(0,0,0)

\(\left(\begin{array}{r}-4\\8\\-4\\\end{array}\right) \; \left(\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\\end{array}\right) \right) = -4 \; x + 8 \; y - 4 \; z = 0\)

Kann man noch durch 4 oder -4 dividieren...

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Alles klar, vielen Dank für die Hilfe :)