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1. Welchen Gewinn erwarten Sie, falls Sie sich für Stadion B entscheiden und es nicht regnen wird?
Um den Gewinn zu berechnen, müssen wir zunächst das Gesamteinkommen aus den Ticketverkäufen berechnen und anschließend die Kosten für die Band und die Miete des Stadions abziehen.
Ticketeinnahmen:
\(17'000 \, \text{Tickets} \times 10 \, \text{CHF/Ticket} = 170'000 \, \text{CHF}\)
Gesamtkosten (Band + Miete):
\(40'000 \, \text{CHF} + 30'000 \, \text{CHF} = 70'000 \, \text{CHF}\)
Gewinn (Einnahmen - Kosten):
\(170'000 \, \text{CHF} - 70'000 \, \text{CHF} = 100'000 \, \text{CHF}\)
2. Die Wettervorhersage des Bauernregel-TV sagt für den Konzerttag eine Regenwahrscheinlichkeit von etwa 75% voraus. Für welches Stadion würden Sie sich entscheiden?
Zur Entscheidung müssen wir den Erwartungswert des Gewinns für beide Stadien berücksichtigen, unter Einbeziehung der 75% Regenwahrscheinlichkeit für Stadion B.
Stadion A:
Da Stadion A überdacht ist, betrifft der Regen das Konzert nicht, und der Gewinn bleibt unverändert von der Wetterlage.
\(Gewinn_{\text{Stadion A}} = (14'000 \times 10) - (40'000 + 20'000) = 140'000 - 60'000 = 80'000 \, \text{CHF}\)
Stadion B (unter Berücksichtigung der Regenwahrscheinlichkeit):
Bei Regen (75% Wahrscheinlichkeit): Konzert fällt aus, also ein Verlust von 70'000 CHF (da weder Einnahmen generiert werden noch die Ausgaben für Band und Miete entfallen).
Bei keinem Regen (25% Wahrscheinlichkeit): Einnahmen sind, wie bereits berechnet, 100'000 CHF.
Erwartungswert des Gewinns:
\(0.75 \times (-70'000) + 0.25 \times 100'000 = -52'500 + 25'000 = -27'500 \, \text{CHF}\)
Da der Erwartungswert des Gewinns für Stadion A höher ist, ist die Entscheidung:
A
3. Ein renommierter Meteorologe verspricht, er würde Ihnen die korrekte Wettervorhersage liefern können. Wie viel sind Sie höchstens bereit für diese Voraussage zu zahlen?
Der maximale Betrag, den Sie bereit wären zu zahlen, ist die Differenz zwischen dem erwarteten Gewinn mit perfekter Information und dem höchsten erwarteten Gewinn ohne diese Information.
Ohne perfekte Information: Der höhere erwartete Gewinn kommt von Stadion A mit 80'000 CHF.
Mit perfekter Information: Sie würden sich für Stadion A entscheiden, wenn es regnet, oder für Stadion B, wenn es nicht regnet. Der Gewinn bei Stadion B ohne Regen ist 100'000 CHF.
Die Differenz beträgt:
\(100'000 \, \text{CHF} - 80'000 \, \text{CHF} = 20'000 \, \text{CHF}\)
Sie wären also höchstens bereit, 20'000 CHF für die korrekte Wettervorhersage zu zahlen.
4. Sie haben die Wettervorhersage von Bauernregel-TV mit derjenigen von Meteo Schweiz verglichen, welche viel zuverlässiger und exakter ist. Meteo Schweiz weiß ganz genau, dass die Regenwahrscheinlichkeit am Konzerttag 80% beträgt. Berechnen Sie den erwarteten Gewinn bei perfekter Information. Wie viel würden Sie nun für die maximale Wettervorhersage bezahlen?
Mit der zuverlässigen Vorhersage (80% Regenwahrscheinlichkeit), wird die Berechnung ähnlich zur vorherigen Frage durchgeführt, jedoch mit aktualisierten Wahrscheinlichkeiten.
Erwarteter Gewinn unter Berücksichtigung der neuen Regenwahrscheinlichkeit:
Bei Regen (80% Wahrscheinlichkeit): Konzert fällt aus, Verlust von 70'000 CHF.
Bei keinem Regen (20% Wahrscheinlichkeit): Gewinn von 100'000 CHF.
Erwartungswert des Gewinns für Stadion B wird dadurch schlechter als zuvor, was die Wahl nicht ändert, da Stadion A immer noch die sicherere Option ohne Wettabhängigkeit darstellt mit einem festen Gewinn von 80'000 CHF.
Der Wert der perfekten Information bleibt unverändert bei 20'000 CHF, da dieser Wert auf der Differenz zwischen der besten Wahl ohne Information (Stadion A, 80'000 CHF) und der Wahl basierend auf perfekter Information (Stadion B bei keinem Regen, 100'000 CHF) basiert. Die Änderung der Regenwahrscheinlichkeit beeinflusst nicht den Wert der perfekten Vorhersage, solange die optimale Entscheidung basierend auf dieser Vorhersage unverändert bleibt.
