Gebrochenrationale Funktion - Grenzwerte bestimmen

Question

Bestimmen Sie für die gebrochenrationale Funktion f mit

$$f ( x ) = \frac { ( x + 2 ) ^ { 2 } } { ( 2 x + 8 ) ( x + 1 ) }$$

folgende Grenzwerte:

$$\lim _ { x \rightarrow - 3 } f ( x ) , \quad \lim _ { x \rightarrow - 4 ^ { + } } f ( x ) , \quad \lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x )$$

x → -3 verstehe ich: einfach in x einsetzen → -1/4

Aber wie gehe ich bei den anderen Werten vor?

-4+?

unendlich?

Answer 1

Hi,

für ins Unendliche musst Du Dir nur die höchsten Potenzen anschauen

$$\lim_{x\to\infty} \frac{(x+2)^2}{(2x+8)(x+1)} = \lim \frac{x^2+...}{2x^2+...} = \frac12$$

Für \(\lim_{x\to-4^+}\) wende die Produktregel an und splitte den Bruch:

$$\lim \frac{(x+2)^2}{x+1} \cdot \lim \frac{1}{2x+8}$$

Für ersteres kannst Du wieder einfach einsetzen und erhältst einen konstanten Wert c. Dieser ist negativ.

Für den letzteren Teil strebt der Bruch gegen \(+\infty\) (der Nenner geht ja gegen +0). Da c negativ ist, strebt der gesamte Ausdruck also gegen \(-\infty\).

Alles klar? :)

Grüße