Quader mit minimaler Oberfläche

Question

Aufgabe: Ein Quader Q mit den positiven Kantenlängen a, b und x habe das Volumen 1 m³. Gib einen Funktionsterm f_b(x) an, der die Oberfläche des Quaders in Abhängigkeit von x für jede Wahl von b>0 beschreibt. Bestimme die Ortslinie aller Tiefpunkte von f_b und interpretiere den Tiefpunkt der Ortslinie in Bezug auf den Quader Q mit kleinster Oberfläche.

Answer 1

Hallo Roland,

Nebenbedingung: abx=1 somit gilt a=1/xb

Hauptbedingung: 2(ab+ax+bx)

Zielfunktion in Abhängigkeit von x mit dem Parameter b: f(x)=2(1/x+bx+1/b)

Notewendiges Kriterium: f`(x)=2(1/-x² +b)=0 <=>x1=1/1/√b oder x2=-1/√b

Hinreichendes Kriterium:f"(x)=2/X³  Wir berücksichtigen,dass b>0 ist:  f"(1/√b)>0 somit liegt an dieser Stelle ein Minimum vor; und f"(-1/√b)<0, somit liegt an dieser Stelle ein Maximum(kannst du selber nochmal überprüfen)

Einsetzen der Minimumsstelle in die Zielfunktion liefert: 2(2√b+1/b)

Nun lautet dein TP mit dem Parameter b: (1/√b|2(2√b+1/b))

Nun zur Ortslinie: Wir betrachten nun die X-Koordinate des TP etwas genauer; X=1/√b <=>1/x²=b . Das setzen wir nun in die Y-Koordinate des TPs in b ein und erhalten: y=2(2√b+1/b)=2(2/x+x²), das ist somit die Funktionsgleichung der Ortslinie.

Zur Interpretation: Auf dem Graphen mit der Funktionsgleichung y=2(2/x+x²) liegen alle minimalen Oberflächen vom Quader 

Answer 2

V = a·b·x = 1 --> a = 1/(b·x)

fb(x) = 2·a·x + 2·b·x + 2·a·b = 2·1/(b·x)·x + 2·b·x + 2·1/(b·x)·b = 2·b·x + 2/x + 2/b

fb'(x) = 2·b - 2/x^2 = 0 --> b = 1/x^2

y = 2·b·x + 2/x + 2/b = 2·1/x^2·x + 2/x + 2/(1/x^2) = 2·x^2 + 4/x

y' = 4·x - 4/x^2 = 0 --> x = 1