Vorgang bei Beweis von Ungleichungen

Question

Schönen guten Tag!

Könnte jemand grundsätzliche Schritte beim Beweisen von Ungleichungen mit Ableitungen erklären?

Meine Fragen wären folgende:

- Was hat man davon, wenn man eine Ungleichung ableitet?

- Was sagt die Monotonie der abgeleiteten Funktion aus?

- Wie kann man daraus folgern, dass die Ungleichung danach stimmt?

:)

Answer 1

Hallo

 die Frage ist zu ungenau. Anscheinend handelt es sich um Ungleichungen von Funktionen, wenn du etwa hast f(0)<g(0) und weisst 0<f'<g' für x >0 dann kannst du folgern f(x)<g(x), aber eigentlich ist die Frage zu vage, man hat nicht immer was davon, eine Ungleichung abzuleiten  wenn etwa gilt f<g in einem Intervall heisst das ja nicht f'<g' also kann man Ungleichungen i.A. nicht ableiten.

Gruß lul

Comments

Hi!

Erstmal danke für deine Antwort!

Beispielweise wenn ich folgende Ungleichung habe:

tan(x) - x ≥ 0

x ∈ )0,pi/2(

Sei f(x) = tan(x) - x

Nun bilde ich die Ableitung:

f'(x) = 1+tan^2(x)

Was sagt mir nun diese Ableitung?

Bzw. was kann ich daraus schließen, um die Ungleichung zu beweisen?

Ich weiß, dass f'(x) monoton steigend ist. Nur was fange ich damit an?

Danke dir!

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Hallo

du weisst ausserdem tan(0)=0, mit (tan(x)-x)=tan^2(x)>0 weisst du dann  dass tan-x immer >0 ist für das Intervall.

(anders ausgedrückt, tan(x) liegt oberhalb seiner Tangente bei 0)

(für den exakten Beweis muss man wohl den Mittelwertsatz bemühen)

Gruss lul