Lineare Gleichungssysteme

Question

Es seien aij ∈ R. Die Lösungsmenge der linearen Gleichung x1 (a11 ,a21)+ x2 (a12, a22) =(2,−3) in R^2

bezeichnen wir mit L. Formulieren und beweisen Sie Bedingungen
an a11, a12, a21 und a22, die jeweils äquivalent sind zu
(a) L = ∅       (b) ord(L) = 1      (c) ord(L) > 1

ich sitze an diese Aufgabe habe paar Ansätze. Aber vestehe nicht ganz genau was die von mir wollen.

Kann mir einer bitte helfen. Ich muss es für die nächste Aufgabe verstehen.

Danke

Answer 1

Das ist das Gleichungssystem

x1 *a11 + x2*a12 =2  und 
 x1*a21 + x2*a22=−3

Das hat genau eine Lösung  ( (b) ord(L) = 1  )

wenn a11*a22 - a12*a21 ≠ 0  gilt.

Zum Beweis vielleicht Additionsverfahren:

x1 *a11 + x2*a12 =2    | a21

x1*a21 + x2*a22=−3    | *a11

<=>

x1 *a11*a21 + x2*a12*a21 =2a21    
x1*a21a11 + x2*a22*a11=−3a11

Jetzt untere minus obere Gleichung gibt

x2 * (a11*a22 - a12*a21 ) = -3a11-2a21

und wenn die Klammer nicht 0 ist, gibt es genau eine Lösung.

Die beiden Fälle   (a) und (c) ergeben sich für :  Klammer = 0 ,

dann muss man halt die rechte Seite noch betrachten:

-3a11-2a21= 0  bzw. nicht.

Comments

Den Anfang habe ich verstanden vielen Dank!

Aber das Ende nicht so ganz. Muss ich dann noch zeigen, dass die Klammer =0 ist?

Aber geht doch nicht oder? Weil ich ja nicht konkrete Zahlen habe, ich könnte höchstens für b) sagen : falls a11a22 ungleich a12a21 ist

und für a und c  FALLS a11a22= a12a21 ist → dann ist die Klammer 0 dann hätte abr 0= -3a11-2a21

Stimmt das ?

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Du kannst doch sagen:

wenn die Klammer 0 ist und

-3a11-2a21 auch 0 ist, dann gibt es

viele Lösungen und

wenn die Klammer 0 ist und

  -3a11-2a21 nicht  0  ist, dann gibt es keine.