Wie groß der CO2 Ausstoß im Jahr 2030 (Logarithmus und Exponentialfunktion)

Question

Kraftfahrzeuge erzeugten weltweit 1990 ca.2,75 Milliarden Tonnen CO2. Der CO2 Ausstoß g(t) in Milliarden Tonnen zur Zeit t (in Jahren nach 1990) soll zunächst beschrieben werden durch g(t) = g(t0)  eλ t.

(a) Geben Sie an, wie groß der CO2 Ausstoß im Jahr 2030 ist, wenn der Wachstumsfaktor des CO2 Ausstoß λ = 0; 021 ist.

(b) Nach wie vielen Jahren hat sich der CO2 Ausstoß, im Vergleich zum Jahr 1990, verdoppelt? (Hinweis: Wachstumsfaktor wie in (a))

(c) Angenommen im Jahr 2005 betrug der CO2 Ausstoß 5; 7 Milliarden Tonnen. Wie hoch müsste der CO2 Ausstoß im Jahr 1990 gewesen sein, wenn λ = 0; 021?

Answer 1

Also wir haben exponentielles Wachstum

$$g(t) = g_0 \cdot e^{ \lambda t} \ ,$$

wobei g(t) den Ausstoß in Milliarden Tonnen zur Zeit t (in Jahren) angibt. g₀ sei die Startmenge und λ der Wachstumsfaktor.

zu a):

Sofern du λ = 0,021 meinst (wobei da eigentlich noch die Einheit 1/Jahr hinter müsste), lautet unsere Funktion:

$$g(t) = 2,75 \cdot e^{0,021 \cdot t} \ .$$

Nach 40 Jahren (2030, also 40 Jahre nach 1990) haben wir einen Ausstoß von:

$$g(40) = 2,75 \cdot e^{0,021 \cdot 40} \approx 6,37 \ ,$$

also ca. 6,37 Milliarden Tonnen.

zu b):

Uns interessiert, wann gilt g(t) = 2*2,75, also wann sich der Ausgangswert 2,75 verdoppelt hat:

$$ g(t) = 2 \cdot 2,75 = 5,5 \quad \Rightarrow \quad 5,5 = 2,75 \cdot e^{0,021 \cdot t} \quad | : 2,75$$

$$ \Rightarrow \quad 2 = e^{0,021 \cdot t} \quad | ln()$$

$$ \Rightarrow \quad ln(2) = 0,021 \cdot t \quad | : 0,021$$

$$ \Rightarrow \quad t = \frac{ln(2)}{0,021} \approx 33,01 \ ,$$

also nach ca. 33,01 Jahren (etwa das Jahr 1990 + 33,01 ≈ 2023) hat sich der Ausstoß verdoppelt.

zu c):

In diesem Aufgabenteil kennen wir g(15), also den Ausstoß nach 15 Jahren. Was wir nicht kennen ist der Startwert, den wir als g₀ bezeichnen. Danach müssen wir unsere Formel nun auflösen:

$$g(t) = g_0 \cdot e^{0,021 \cdot t}$$

$$ \Rightarrow \quad g(15) = 5,7 = g_0 \cdot e^{0,021 \cdot 15}$$

$$ \Rightarrow \quad 5,7 = g_0 \cdot e^{0,315} \quad | : e^{0,315}$$

$$ \Rightarrow \quad g_0 = \frac{5,7}{e^{0,315}} \approx 4,16 \ .$$

Der Ausstoß müsste unter diesen Bedingungen bei ca. 4,16 Milliarden Tonnen im Jahr 1990 gelegen haben.