Hallo Nadia,
Wenn man nach dem Heron-Verfahren die Wurzel aus 2 zieht, so beginnt man mit einem Schätzwert \(a_1\) und berechnet anschließend eine bessere Näherung, in dem man ein \(b_1=2/a_1\) bestimmt und dann das arithmetische Mittel beider Werte berechnet; usw. Allgemein wird so ein Wert \(a_n\) dann aus dem Vorgänger \(a_{n-1}\) berechnet - also: $$\begin{aligned} a_n &= \frac12 \left( a_{n-1} + b_{n-1}\right) \\&= \frac 12\left( a_{n-1} + \frac 2{a_{n-1}} \right) \\&= \frac 12\left( \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-1}} + \frac 2{a_{n-1}} \right) \\&= \frac 12\left( \frac {a_{n-1}^2 + 2}{a_{n-1}} \right) \\&= \frac {a_{n-1}^2 + 2}{2 a_{n-1}} \end{aligned}$$ und dies ist genau der rekursive Ausdruck von oben.
Rekursiv ist er, da \(a_n\) in Abhängigkeit von \(a_{n-1}\) berechnet wird. Der Grenzwert ist \(\sqrt 2\). Den kann man bestimmen, indem man \(a_n=a_{n-1}\) setzt - was bedeutet, dass sich der Wert nicht mehr verändert: $$\begin{aligned} a_n &= \frac{a_n^2 + 2}{2a_n} &&\left| \cdot 2a_n\right. \\ 2a_n^2 &= a_n^2 + 2 &&\left| -a_n^2 \right. \\ a_n^2&= 2 &&\left| \sqrt{\space }\right. \\ a_n&= \pm \sqrt 2\end{aligned}$$ Ob der Grenzwert plus oder minus Wurzel aus 2 ist, hängt von dem Vorzeichen des Startwerts ab.
Falls noch etwas unklar ist oder ich die Fragestellung nicht genau getroffen habe, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
