Aufgabe mit Wahrscheinlichkeiten

Question

Hallo :)

Sie erwarten zwei Anrufe, von denen der eine zu irgendeinem Zeitpunkt innerhalb der nächsten drei Stunden passieren wird und der andere zu irgendeinem Zeitpunkt innerhalb der nächsten zwei Stunden. Wir modellieren das als zwei Zufallsvariablen X und Y (”Zeit bis zum Anruf in Stunden“), die unabhängig und auf (0, 3) bzw. (0, 2) gleichverteilt seien, also X ∼ U(0, 3) und Y ∼ U(0, 2) .

a) Geben Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion an:
F^X,Y (x, y) : R × R → R, F^X,Y(x, y) := P(X ≤ x ∧ Y ≤ y).

#Meine Überlegung war hier :

F^X,Y(x=3, y=2) := P(X ≤ 3 ∧ Y ≤ 2).

                 =\( \int\limits_{- \infty}^{x=3} \) \( \int\limits_{- \infty}^{x=2} \) f(u,v) dv du

                 = \( \int\limits_{- \infty}^{x=3} \) f_X(u) du \( \int\limits_{- \infty}^{x=2} \) f_Y(v) dv

                 = P(X ≤ x=3) * P(Y ≤ y=2). (wegen Unabhängigkeit)

b) Skizzieren Sie die beiden Ereignisse ”Beide rufen innerhalb ersten Stunde an“ und ”Keiner ruft innerhalb ersten Stunde an“ und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten – einmal als allgemeinen Ausdruck in der Verteilungsfunktion F^X,Y und einmal als Zahlenwert für die vorliegende Verteilung.

Hier bin ich leider ratlos ... Wenn mir jemand helfen könnte, wär das super:)

Answer 1

\(P(X ≤ x ∧ Y ≤ y) = P(X\leq x)\cdot P(X\leq x)\) wegen Unabhängigkeit. Dabei ist

\(P(X \leq x) = \begin{cases}0 & x \leq 0\\\frac{1}{3}x & 0 < x < 3\\1 & 3 \leq x\end{cases}\)

\(P(Y\leq y) = \begin{cases}0 & y \leq 0\\\frac{1}{2}y & 0 < y < 2\\1 & 2 \leq y\end{cases}\)

Also ist

\(P(X \leq x \wedge Y \leq y) = \begin{cases}0 & x \leq 0 \vee y \leq 0 \\\frac{1}{3}x\cdot\frac{1}{2}y & 0 < x < 3 \wedge 0 < y < 2\\\frac{1}{3}x & 0 < x < 3 \wedge 2\leq y\\\frac{1}{2}y & 3 \leq x \wedge 0 < y < 2\\1 & 3\leq x \wedge 2\leq y\end{cases}\)

P(X ≤ 3 ∧ Y ≤ 2).

Beschreibe in Worten von welchem Ereignis du hier die Wahrscheinlichkeit angegeben hast.

P(X ≤ x=3)

Beschreibe in Worten von welchem Ereignis du hier die Wahrscheinlichkeit angegeben hast.

Comments

Erstmal danke für die Antwort:)

Ich versteh nur leider den zweiten Teil nicht (Beschreibe in Worten..)

Müsste ich jetzt nicht für 'Beide rufen innerhalb der ersten Stunden an' einfach den Fall 0<x<3∧0<y<2 wählen und für x und y jeweils 1 einfügen?

Für 'Keiner ruft innerhalb der ersten Stunde an' einfach den selben Fall wählen und einfach die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen also 1- \( \frac{1}{3} \) x⋅\( \frac{1}{2} \) y

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Ich versteh nur leider den zweiten Teil nicht (Beschreibe in Worten..)

Dann beschreibe ich mal die Wahrscheinlichkeiten in Worten:

P(X ≤ 3 ∧ Y ≤ 2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X nicht größer als 3 und die Zufallsgröße Y nicht größer als 2 ist.

Auf den Sachzusammenhang übertragen ist das die Wahrscheinlichkeit, dass der eine Anruf innerhalb von 3 Stunden erfolgt und der andere Anruf innerhalb von 2 Stunden.

Die Wahrscheinlichkeit is offensichtlich 1, weil ja alleine schon in der Aufgabenstellung steht, dass "der eine zu irgendeinem Zeitpunkt innerhalb der nächsten drei Stunden passieren wird und der andere zu irgendeinem Zeitpunkt innerhalb der nächsten zwei Stunden".

P(X ≤ x=3) ist eine Kurzschreibweise für P(X ≤ x ∧ x= 3). Das kann man vereinfachen zu P(X = 3), also die Wahrscheinlichkeit, dass der eine Anruf zum Zeitpunkt 3 erfolgt. Diese Wahrscheinlichkeit ist 0.

Ich glaube aber nicht, dass du diese zwei Ereignisse tatsächlich gemeint hast.

Müsste ich jetzt nicht für 'Beide rufen innerhalb der ersten Stunden an' einfach den Fall 0<x<3∧0<y<2 wählen und für x und y jeweils 1 einfügen?

Ja.

Für 'Keiner ruft innerhalb der ersten Stunde an' einfach den selben Fall wählen und einfach die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen

Das geht leider nicht, weil "der eine ruft innerhalb der ersten Stunde an, der ander aber nicht" weder zu dem Ereignis "Keiner ruft innerhalb der ersten Stunde an" noch zu dem Ereignis "Beide rufen innerhalb der ersten Stunden an" gehört.

Natürlich schließen sich die Ereignisse

    "Keiner ruft innerhalb der ersten Stunde an" und

    "Beide rufen innerhalb der ersten Stunden an"

gegenseitig aus. Weil es aber noch eine dritte Möglichkeit

    "Der eine ruft innerhalb der ersten Stunde an, der andere nicht"

gibt, darfst du nicht mit Gegenwahrscheinlichkeit argumentieren.

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Ja das hab ich natürlich nicht bedacht ... aber für keiner ruft innerhalb einer Stunde existiert ja kein Fall, sonst müsste ich ja x und y echt größer 1 haben...

Kann man da überhaupt einen Zahlenwert berechnen? ES bedeutet ja dann nur, dass irgendwann zwei Anrufe kommen

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aber für keiner ruft innerhalb einer Stunde existiert ja kein Fall

Aber du kannst den Fall durch die bekannten Fälle ausdrücken:

P(X>1 ∧Y>1) = 1 - (
    P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ Y > 1)
    + P(X > 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1)
    + P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1))

= 1 - (
    P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ 1 < Y ≤ 2) + P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ Y > 2)
    + P(1 < X ≤ 3 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1) + P(X > 3 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1)
    + P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1))

= 1 - (
    (P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 2) - P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1)) + P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ Y > 2)
    + (P(0 < X ≤ 3 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1) - P(0 < X ≤ 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1)) + P(X > 3 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1)
    + P(0 ≤ X ≤ 1 ∧ 0 ≤ Y ≤ 1))

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Also ich kann deine Schritte bis zum zweiten Gleichheitszeichen nachvollziehen, jedoch das letzte versteh ich nicht ganz wie du da drauf gekommen bist.

Ich muss ja auch einen Zahlenwert berechnen, ich habe gerechnet :

1- ( 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1 + 1/3 * 1/2+ 1* 1/2 + 1/3 * 1/2) = -1/3

Also wie es scheint hab ich da auf jeden Fall etwas falsch berechnet, weil eine negative Wahrscheinlichkeit ist ja nicht möglich...