Zeigen Sie dass für A, B ∈ ℝ^dxd mit AB = BA gilt exp(A + B) = exp(A) exp(B).

Question

Betrachten Sie die Matrix-Exponentialfunktion exp : ℝ^dxd →ℝ^dxd mit $$ exp(A)\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n! }  } { A }^{ n } $$

Zeigen Sie dass für A, B ∈ ℝ^dxd mit AB = BA gilt

exp(A + B) = exp(A) exp(B).

Comments

Der Beweis geht genauso wie im reellen, wenn A und B kommutieren. Berechne das Cauchy Reihenprodukt von exp A und exp B.

Answer 1

Hallo certi, mit dem Kommentar von jc2144 ist schon alles gesagt:  Du suchst in Wikipedia „Cauchyprodukt“.  Dort findest du den Beweis für e^x * e^y = e^x+y mit x, y ∈ ℝ.  Mit Matrizen geht’s genauso.  Die Anwendung des binomischen Lehrsatzes in dem Beweis verlangt, dass AB = BA ist.