Sind die vier Punkte die Ecken eines Parallelogramms?

Question

liebe Mathematiker,

ich komme mal wieder nicht klar:

Sind die vier Punkte die Ecken eines Parallelogramms?

Begründen Sie ihre Antwort. 

a) A(-2;2;3), B(5;5;5), C(9;6;5), D(2;3;3)

b) A(2;0;3), B(4;4;4), C(11;7;9), D(9;3;8)

Besten Dank im Voraus!

P.S. Wir hatten noch nicht solche Themen wie Kreuzprodukt, Vektorprodunkt. Es soll nur anhand der Koordinaten erklärt werden.

Answer 1

zu a) AB=\( \begin{pmatrix} 5\\5\\5 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 7\\3\\2 \end{pmatrix} \)

DC=\( \begin{pmatrix} 9\\6\\5 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2\\3\\3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 7\\3\\2 \end{pmatrix} \)

Zwei Seiten sind parallel und gleichlang. Das ist also ein Parallelogramm.

Comments

Zwei Seiten sind gleich lang okay, aber wie kommst du darauf, dass sie parallel sind?

Ah - okay - ich hab's !!!

a)
Die Punkte A, D und B, C haben die selbe Höhe und zwei Seiten sind gleich lang - also

sind die Seiten parallel! :-)
Danke für deinen hilfreichen Ansatz!

---

Ich glaub das reicht noch nicht als Begründung,  aber AD und BC sind auch gleich lang.
Das müsste dann passen.

Answer 2

ich würde behaupten, dass sich dies durch alleiniges Betrachten der Punkte nicht sagen lasst, da das Parallelgramm "schief" im Raum liegen kann.

Es muss aber prinzipiell gelten: AB || CD und BC || AD

Zum Prüfen, ob diese Vektoren parallel zueinander sind, brauchst du nicht zwingen Skalar- oder Kreuzprodukt, weswegen ich nicht weiß, ob du dies zu Hilfe ziehen sollst.