Pyramide (Grundfläche-Parallelogramm)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Pyramide,deren Grundfläche das Parallelogramm mit den Eckpunkten:

A(2/3/0)

B(2/0/4)

C(-4/8/2)

D(-4/11/-2)

S(10/8/-20)

Problem/Ansatz:

 Gesucht sind  die Länge der Höhe,Fusspunkt der Höhe und Volumen der Pyramide.

Antwort im Buch:

F(26/3 , 20/3 , -63/3)

V=31/3 Ve

Meine Probleme ist,dass ich schon 3 mal probiert habe,die Höhe bei Abstand Punkt S zur Ebene finden,aber meine Antworten passt nicht mit dem Buch. Ich entschuldige mich im Voraus für mein Deutsch, es ist nicht so gut, aber ich hoffe sehr auf die ausführlichste Antwort, wenn möglich.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Fußpunkt der Höhe bei Pyramide

Stichworte: höhe,geometrie,fußpunkt

Ich habe die Koordinaten A(2/3/0), B(2/0/4) C(-4/8/2) und die Spitze (10/8/-20) Mit Hessesche Normalform kann ich auch die Höhe finden, aber wie kann ich den Fußpunkt der Höhe finden?

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Welche Ebenengleichung  für die Grundfläche hast du denn ausgerechnet?

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Ich habe mit dem Höhe angefangen,

Weil ich dachte,dass Parallelograms Grundfläche nur mit Höhe gefunden sein kann.

Normal Vektor war (-26/-24/-18)

Ich habe AB mit AC gekreuzt.

Und dann Abstand mit Hessesche Normalform.

Dass war :

D= -26•10-24•8-18•(-20)+124 / 39.69

Aber dass war falsch

Answer 1

wenn du die Normalenform der Ebene hast, hast du auch deren Normalenvektor (senkrecht zu E.)

Die Höhengerade hat diesen als Richtungsvektor und geht durch S. Sie schneidet die Ebene im Höhenfußpunkt.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die Pyramide sieht ganz schön entartet aus

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=polygon(2%7C3%7C0%202%7C0%7C4%20-4%7C8%7C2)%0Apolygon(10%7C8%7C-20%202%7C3%7C0%202%7C0%7C4)%0Apolygon(10%7C8%7C-20%202%7C0%7C4%20-4%7C8%7C2)%0Apolygon(10%7C8%7C-20%20-4%7C8%7C2%202%7C3%7C0)%0Astrecke(10%7C8%7C-20%2010.53%7C8.49%7C-19.63)

Eventuell solltest du mal kontrollieren ob alle Punkte stimmen.

Answer 3

(1)

gegeben seien die Punkt A(2|3|0), B(2|0|4), C(-4|8|2), D(-4|11|-2) und S(10|8|-20):$$E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 2-2\\0-3\\4-0 \end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix} -4-2\\8-3\\2-0 \end{pmatrix}$$ Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren steht senkrecht auf der Grundfläche. Also ein Normalenvektor der Ebene und deswegen der Richtungsvektor der Lotgeraden durch S.

Der Schnittpunkt [der Lotgeraden] mit der Ebene ist der Fußpunkt. Dann kannst du die Höhe eigentlich ablesen, wenn ich mich nicht täusche.

(2)

Das Volumen einer Pyramide mit Parallelogramm als Grundfläche ergibt sich aus \(\begin{array}{l} V=\frac{1}{3}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|=\frac{1}{3}\left|{\det}\left(\overset{\rightarrow}{{AB}},\overset{\rightarrow}{{AC}},\;\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|\\\end{array}\)

Comments

Vielen Dank !

Answer 4

Tröste Dich. In der Aufgabe ist der Wurm drin bzw. in der Lösung. Als Fußpunkt habe ich

F = [10, 8, -20] + 8/197·[13, 12, 9] = [2074/197, 1672/197, - 3868/197] = [10.53, 8.49, -19.63]

Comments

Vielen Dank !

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Kann ich herausfinden, woher 8/197 kommt? 

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Sicher. Hier die vollständige Rechnung

AB = [0, -3, 4]
AD = [-6, 8, -2]

N = [0, -3, 4] ⨯ [-6, 8, -2] = [-26, -24, -18] = -2·[13, 12, 9]

E: X·N = A·N
E: X·[13, 12, 9] = [2, 3, 0]·[13, 12, 9]
E: 13·x + 12·y + 9·z = 62

Schnittpunkt der Länge mit der Ebene
h: X = [10, 8, -20] + r·[13, 12, 9] = [13·r + 10, 12·r + 8, 9·r - 20]
E: 13·x + 12·y + 9·z = 62

h in E einsetzen
13·(13·r + 10) + 12·(12·r + 8) + 9·(9·r - 20) = 62 → r = 8/197

F = [10, 8, -20] + 8/197·[13, 12, 9] = [2074/197, 1672/197, - 3868/197] = [10.53, 8.49, -19.63]