Charakteristisches Polynom und Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Ich habe das charakteristische Polynom X^3+2X+2 gegeben.(für eine Matrix im F7) Durch erraten habe ich schonmal 2 als Nullstelle. Mit Polynomdivision erhalte ich dann X^2+2X+6 und die PQ-Formel liefert: x1= -1+wurzel2 und x2=-1-wurzel2. Wie gebe ich aber nun die eigenwerte an, ich befinde mich ja im Körper modulo sieben??

Problem/Ansatz:

Answer 1

X=2 stimmt. Nach Polynomdivision hast du

X^{2}+2X+6=0

PQ gilt für reelle Zahlen und nicht im F_7, deswegen kommst du auf Quatsch mit Wurzeln. Setze erneut die Elemente des F_7 ein um die Nullstellen zu finden. Gibt nochmal X=2 , X=3. Also ist 2 doppelte Nullstelle und 3 einfache Nullstelle.

Comments

Achse, also muss ich einfach wieder die Nullstellen erraten?

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Genau, da es nur endliche viele Elemente im F_7 gibt ist das meines Erachtens der einfachste Weg.

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Ok danke, aber könnte man das auch formal irgendwie zeigen? Sonst würde ich glaube ich nicht die volle Punktzahl bekommen