Eigenwerte Eigenschaft

Question

wie beweise ich diesen Satz:

Hat die Matrix A die Eigenwerte λ_i,i=1,2...r, so sind λ^m_i,m∈Ν Eigenwerte von A^m.

?

Answer 1

Ist k ein Eigenwert von A (nxn Matrix) , dann gilt:

Es gibt ein v ∈ℝ^n \ {0} mit A*v= k*v

==> A^2 * v = A *(A*v) = A*(k*v) = k*A(v) = k*k*v =k^2 *v

lässt sich auf A^n verallgemeinern durch vollst. Induktion.