Tangentenbedingungen

Question

Aufgabe:

… Tangentenbedingung:

- funktion f berührt die g(x) bei x=6 -> f'(6)=g'(6) und f(6)=g(6)

Problem/Ansatz:

wieso diese bedingungen?

Answer 1

Berühren heißt einen Punkt gemeinsam haben f(x) = g(x)

und in diesem Punkt zusätzlich noch die Gleiche Steigung haben f'(x) = g'(x).

Daher genau diese beiden Bedingungen

Was mich persönlich immer verwirrt hat auch bei f(x) = x^3 und g(x) = 0 spricht man von berühren.

~plot~ x^3;0 ~plot~

Comments

ist es bei schneidet die g(x) bei x=7 senkrecht

dann auch ein Punkt gemeinsam plus die steigung f'(7)=-1/g'(7)

also muss man es auswendig lernen und gibt es noch weitere Besonderheiten?

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Hallo coach,
das Problem hat wahrscheinlich wieder einmal eine  sprachliche Wurzel zwischen Alltagssprache und Mathematikersprache.
Alltagssprache : wenn ich etwas berühre z.B.
einen Stoff gehe ich nicht durch diesen hindurch,
bleibe also auf meiner Seite.

Mathematikersprache :
Berührpunkt f(x) = g(x) und f´(x ) = g´(x)
So ist die Definition.

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ist es bei schneidet die g(x) bei x=7 senkrecht
dann auch ein Punkt gemeinsam plus die steigung f'(7)=-1/g'(7)
also muss man es auswendig lernen und gibt es noch weitere Besonderheiten?

Ja das sollte man auswendig wissen bzw. verstehen.

genau so darf man die allgemeine Tangenten- und Normalengleichung an der Stelle a wissen.

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)
n(x) = -1/f'(a) * (x - a) + f(a)

Weil die normale senkrecht zur Tangente ist hat man dort auch den negativen Kehrwert der Tangentensteigung.

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Hallo coach,
das Problem hat wahrscheinlich wieder einmal eine  sprachliche Wurzel zwischen Alltagssprache und Mathematikersprache.

Das ist mir heutzutage bewusst und daher versuche ich auch immer viel wert darauf zu legen es richtig zu machen. Leider schleichen sich immer wieder Fehler ein. Daher wollte ich nur mal auf die Schwierigkeiten hinweisen die ich als Schüler hatte damit heutige Schüler die gleichen Fehler nicht nochmals machen.

Neulich hatte ich hier auf der Plattform auch von einem überaus erfahrenen Mitglied die Lösung einer quadratischen Gleichung gesehen die mit

x1 = ... und x2 = ...

angegeben worden ist. Und klar ist mir bewusst das hier halt eine Alltagssprachliche Aufzählung vorgenommen worden ist. Daher hatte ich das auch nicht weiter kommentiert. Immerhin ist ja auch ein alltagssprachliches und und nicht der Mathemathische Operator "∧" verwendet worden.

Je mehr man ließt desto öfter wird man in der Mathematik, gerade im Schulbereich immer wieder auf nicht ganz exakte Formulierungen treffen, weil man es den Schülern nicht zu schwer machen will.

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Daher wollte ich nur mal auf die Schwierigkeiten hinweisen die ich als Schüler hatte damit heutige Schüler die gleichen Fehler nicht nochmals machen.

Dieselben Schwierigkeiten bei y = x^3 Schnitt-
oder Berührpunkt hatte ich auch.

Ganz richtig wäre wohl :
Der Punkt P ( 0 | 0 ) ist ein
Berührpunkt
oder
Schnittpunkt mit gleicher Steigung.

Sagt aber niemand.

Answer 2

Hier ein Bild

Für den Berührpunkt gilt
f ( x ) = t ( x ) Koordinaten sind gleich
f ´( x ) = t ´( x ) Steigung ist gleich