Achsensymmetrie von Bruch mit e-Funktion zeigen

Question

Aufgabe:

ich muss von folgendem Bruch die Achsensymmetrie zeigen:

$$\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}$$

Das Prozedere hinter dem Zeigen von Achsensymmetrie ist mir klar. Man muss ja nur zeigen, dass f(x) = f(-x). Ich habe aber f(x) versucht etwas umzuformen, bekomme aber leider keinne anähernd ähnliche Form wie f(-x).

Answer 1

$$f(x)=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}$$

==>

$$f(-x)=\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}=\frac{e^{x}}{\left(1+2e^x+e^{2x}\right)}$$

Kürzen mit e^x gibt

$$=\frac{1}{\left(e^{-x}+2+e^{x}\right)}$$

erweitern mit e^(-x) gibt

$$=\frac{e^{-x}}{\left(e^{-2x}+2e^{-x}+1\right)}$$

binomische Formel bringt den Rest.