Abb. A.3 stellt die Zufluss- und Abflussraten (in Kubikmeter pro Stunde) für einen Zeitraum von 6 Stunden dar.

Question

Aufgabe: Abb. A.3 stellt die Zufluss- und Abflussraten (in Kubikmeter pro Stunde) für einen Zeitraum von 6 Stunden dar. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank 2 m3 Wasser.

a) Bestimmen Sie anhand der Abb. A.3 wie viel Wasser sich nach 2 Stunden in dem Tank befindet.

b) Skizzieren Sie in der Abb. A.4 den Verlauf des sich im Tank befindlichen Wasservolumens in Abhängigkeit von der Zeit.

Problem/Ansatz: Meine Lösung: a) Zufluss 2h*2m^3/2=2m^3 Abfluss 2h*2/2m^3/2=1m^3

Im Tank nach 2h : 2m^3-1m^3=1m^3

Ist meine Lösung korrekt? und bitte um Hilfe beim b)

Answer 1

Im Intervall [0 ; 4] kann man den Graphen sicher annähern über y = x·(4 - x). Man sieht förmlich die nach unten geöffnete verschobene Normalparabel.

Dann wäre die Fläche das Integral ∫ (x = 0 bis 2) (4·x - x²) dx = 5.333

Dann wären nach 2 Stunden etwa 7.333 m³ Wasser im Tank.

Achtung: Die Fläche soll hier explizit nicht berechnet werden sondern näherungsweise anhand des Graphen bestimmt werden. Z.B. durch auszählen der Kästchen, die zwischen dem Graphen und der x-Achse in diesem Intervall liegen.

Comments

Hallo coach,
die Punkte x = 0 und x = 4 sind Wendepunkte.
Deine Parabel passt also nicht ganz.
mathefs Funktion ist meiner Meinung nach
völlig richtig.

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Setzt man x=1, x=3 oder x=5 ein, sieht man mehr. Außerdem können Randstellen wie x=0 keine Wendestellen sein.

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die Punkte x = 0 und x = 4 sind Wendepunkte.
Deine Parabel passt also nicht ganz.

Die Parabel passt ganz genau.

Die grüne Kurve sind zwei Parabeln in den Intervallen \([0..4]\) und \([4..6]\). Die rote ist Dein Polynom 5.Ordnung. $$f(x) = -1/144 \cdot x^{5} + 5/36 \cdot x^{4} - 29/36 \cdot x^{3} + 7/9 \cdot x^{2} + 8/3 \cdot x$$

Vergleiche das mal mit dem Graphen in der Aufgabenstellung.

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Die Parabel passt.
Ich habe eine zusammengesetze Funktion in den
Bereichen ( 0 bis 4 ) und ( 4 bis 6 )
Bei x = 4 macht die Funktion einen Sprung in
der Krümmung von -2 nach 2.
x = 4 ist dann ein Wendepunkt ?

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@georgborn

die Punkte x = 0 und x = 4 sind Wendepunkte.

Woher nimmst du diese Weisheit?

An der Stelle x=4 scheint es wenigstens optisch so zu sein, aber ob bei x=0 ein Übergang zwischen einer Links- und einer Rechtskurve stattfindet, kann man mangels eines Graphen im Bereich x<0 absolut NICHT sagen.

Jeder Versuch, eine bestimmte konkrete Funktionsgleichung hineinzudeuten, ist spekulative Kaffeesatzleserei.

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Aufgabenstellung b) könnte dann in etwa wie folgt aussehen. Ich habe beide Funktionen näherungsweise in ein Koordinatensystem gezeichnet. 

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@abacus
zur Zeit meines Kommentars galt noch mathefs
Funktion für mich als als zutreffend. Dort ist
x = 4 ein Wendepunkt.

Mit der parabelförmigen Funktion ( besser 2 Funktionen ) vom Mathecoach ist x = 4 aufgrund des Vorzeichenwechsels der Krümmung ebenfalls
ein Wendepunkt.

@mathecoach
zu b.) meine Kurve über den Verlauf des Wasservolumens entspricht deiner Kurve.

Ich will jetzt erst aber einmal abwarten bis der
Fragesteller sich äußert ob ihm bisher
weitergeholfen werden konnte.

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zur Zeit meines Kommentars galt noch mathefs Funktion für mich als als zutreffend.

Die war doch schon 5 Minuten nach ihrem Hochladen aus dem Rennen.

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@hj2166: Man merkt, dass du selten ein paar Minuten an deinen Beiträgen arbeitest. Bevor du sie abschickst, siehst du nicht, was sich inzwischen getan hat. Auch nachher musst du erst mal die Frage neu laden, damit du Antworten siehst, die inzwischen hochgeladen wurden. Update geschieht im Eingabefenster nicht automatisch.

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Solltest du Wert darauf legen, dass jemand diesen Beitrag versteht, so wirst du ihn erklären müssen.

Answer 2

In den ersten 2 Stunden nimmt die Rate von 0 auf 4 zu.

Wenn du also mit einem Mittelwert von2 rechnest, hast du

2h * 2m^3 / h = 4m^3 Zunahme, dann wären, weil anfangs schon

2m^3 drin sind, jetzt (also nach 2h) 6m^3 im Tank.

Du kannst die zugeflossene Menge auch durch

Abschätzen der Fläche zwischen Graph und x-Achse

im Bereich von 0 bis 2 bestimmen. Da wäre das etwas mehr als

das Dreieck mit den Ecken (0;0) , ( 2;0) , ( 2;4) und auch

hier gäbe es  A = g*h / 2 = 2*4/2 = 4m^3 Zufluß.

Besser etwas mehr, weil die Fläche ja etwas größer ist als Dreieck,

vielleicht wäre 4,5m^3 ein guter Wert.

Der Graph sieht ja aus, also gehöre er zu f(x) = x*(x-4)*(x-8) / 6

Dann wäre der Zufluss in den ersten 2 Stunden sogar:

Integral von 0 bis 2 über f(x) dx = 6.

Also wären nach 2 h sogar  8m^3 im Tank.

Comments

Der Graph sieht ja aus, also gehöre er zu f(x) = x*(x-4)*(x-8) / 6

Das tut er doch überhaupt nicht.

Answer 3

Euch ist keine Funktion gegeben.
Deshalb muß man das Volumen durch Auszählung
der Kästchen unterhalb der Kurve ermitteln.
1 Kästchen = 0.5 m^3 / h * 0.5 h = 0,25 m^3

Zufluß plus 2 m^3 = Wasserstand in m^3

b.) Abb 4 fehlt. Dürfte V zu t sein.
Kannst du Abb 4 noch nachreichen ?

Ansonsten geht der Vorgang auch wieder über
auszählen der Kästchen und Aufsummierung.

Zeit bis ??? Std

Comments

Flächenauswertung : x von 0 bis 2
Dreieck = 2 * 4 / 2 = 4 m^3
Auszählung Kästchen ( 2 ,4.6, 6.7, 7.7 ) * 0.25 = 5.25 m^3
übers Integral = 6 m^3 ( f(x) = x*(x-4)*(x-8) / 6 )

2 m^3 Vorfüllung ist hinzu zu addieren
Bei 5.25 plus 2 = 7.25 m^3

b.) Von x = 2..4 kommt dieselbe Fläche ( Volumen )
hinzu
Von x = 4..6 wird dieselbe Fläche ( Volumen ) abgezogen

Es bleibt beim Wert von 7.25 m^3

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Zur Funktion
Werden folgende Aussagen verwendet
f ( 0 ) = 0
f ' ( 2 ) = 0
f ( 2 ) = 4
f ( 4 ) = 0
f ( 6 ) = -4
f ' ( 6 ) = 0

ergibt sich
f(x) = -1/144*x^5 + 5/36*x^4 - 29/36*x^3 + 7/9*x^2 + 8/3*x

Zu-bzw. Abflußvolumen übers Integral
x = 0.. 2  : 5
x = 2.. 4 : 5.07
x = 4..6 : - 5.07

Insgesamt
5 + 2 = 7 m^3 sowohl nach 2 als auch nach 6 Std

Tip an den Fragesteller : Kästchen zählen.

zu b.)

Frag nach bis alles klar ist.