Normalengleichung aufstellen an dem Punkt (2|f(2)

Question

Aufgabe:

f(x) = 1/6x³-1/4x²-3x+1

Problem/Ansatz:

man sollte zuerst die Tangentengleichung aufstellen dazu, die habe ich aber schon

y = -2x + -2/3

Die andere Aufgabe lautet:

Der Graph von f hat im Punkt P eine Normale n. Dies ist eine Gerade, die orthogonal zur Tangente im Punkt P verläuft. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen n.

P (2|f(2) bzw. P (2|-14/3)

Comments

Die Normale hat die Steigung \(m_n = \frac{-1}{m_t}\) und geht durch P.
Reicht das schon? ;)

Answer 1

Hallo Repp,

Einen Punkt der Normalen hast Du schon. Das ist \(P\). Und wenn zwei Geraden aufeinander senkrecht stehen und die eine hat die Steigung \(m\), dann hat die andere die Steigung \(-1/m\). Das kann man wissen, oder sich auch aus den Steigungsdreiecken herleiten. Die Steigung der Tangente ist \(m=-2\).

Jetzt Punkt \(P(\colorbox{#88ff88}2|\, \colorbox{#ccccff}{-14/3})\) und Steigung der orthogonalen Normalen \(-1/(-2) = \colorbox{#ffff00}{1/2}\) noch in die Punkt-Steiungsform einer Geraden einsetzen und ein wenig umformen:

$$ \begin{aligned} y &= \textcolor{#00f}{\frac 12} (x - \textcolor{#0A0}{2}) \textcolor{#00f}{- \frac {14}3} \\ &= \frac 12 x - \frac {17}3\end{aligned}$$~plot~ (1/6)x^3-(1/4)x^2-3x+1;{2|-14/3};-2x-2/3;[[-8|9|-6|4]];x/2-17/3 ~plot~

Die grüne Gerade ist die Normale.

Gruß Werner