1+2+4+8+16=31=2*16-1 oder auch 1+2+4+8+16+32=63=2*32-1

Question

Aufgabe:

1+2+4+8+16=31=2*16-1 oder auch 1+2+4+8+16+32=63=2*32-1

Die Aufgabe bestand daraus aus solchen Gewichtssätzen zb einen 14kg Sack zu wägen. Mir ist aufgefallen, dass der grösste Sack, den man wägen kann immer den Grössten Gewichhtsstein mal 2 minus 1 ist.

Problem/Ansatz:

Warum ist das so? Gibt es dazu eine Mathematische Erklärung?

Answer 1

Diese Summe \(1+2+4+8 + \dots = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 \dots\) ist eine geometrsche Reihe. Und für die gilt allgemein:$$\sum_{i=0}^n q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$in diesem Fall ist \(q=2\), daher kann man schreiben:$$\sum_{i=0}^n 2^n = \frac{1-2^{n+1}}{1-2}= 2^{n+1} - 1 $$also genau das, was Du oben fest gestellt hast.

Man kann sich das sehr schnell selbst herleiten. Es sei$$x = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n}$$ und nun multipliziert man mit \(2\):$$2x = 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n+1}$$und zieht davon die erste Gleichung mit \(x\) wieder ab:$$\begin{aligned}2x-x &= -1 + (2-2) + (4-4) + (8-8) + \dots  +(2^n - 2^n) + 2^{n+1} \\ &= 2^{n+1} - 1 = x \end{aligned}$$ Alles klar?