Parametergleichungen von Ebenen im Koordinatenwürfel

Question

Aufgabe:

Parametergleichungen von Ebenen im Koordinatenwürfel.

Gegeben ist ein Würfel mit Kantenlänge 5 in einem kartesischen Koordinatensystem.

a) Jede Seitenfläche des Würfels liegt in einer Ebene. Geben Sie für jede dieser Ebenen eine Koordinatengleichung an.

b) Die Ecken D, B, G, E bilden das eingezeichnete Tetraeder, dessen Seitendreiecke Ebenen aufspannen. Geben Sie für jede dieser Ebenen eine Koordinatengleichung an.

Comments

Und was genau ist das Problem? Weisst Du nicht was eine Parametergleichung für eine Ebene ist, oder kannst Du im Bild die Koordinaten der Punkte nicht ablesen?

Answer 1

a) Zum Beipiel die Ebenengleichung der obersten Fläche:

H(0|0|5), E(5|0|5), G(0|5|5)

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} 5\\0\\0 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 0\\5\\0 \end{pmatrix} \)

Comments

HEG,FEG,DAB,DBC,GFB,DAH

Ist es richtig ?

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Wenn das die Würfelseiten sein sollen, ist das nicht richtig, denn

1. HEG und FEG sind die gleiche Ebene,.

2. Das sind keine Ebenenglechungen.

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HEG,DAH,GFB,DAC,DCH,AEB ?

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Jetzt sind die Würfelseiten durch zutreffende Punkte repräsentiert, aber Ebenengleichungen sind das immer noch nicht.

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Hauptsache die Punkte stimmen.Ebenengleichungen sind einfach aufzuschreiben

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Punkte sind auch einfach aufzuschreiben.

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Ja ich war mir aber nicht sicher

Answer 2

Hallo Sophie,

zu b)

Für das Tetraeder brauchst du zunächst die Ortsvektoren der Eckpunkte.

\(\vec{d}=\overrightarrow{OD}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \)

\(\vec{b}=\overrightarrow{OB}= \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 0 \end{pmatrix} \)

\(\vec{g}=\overrightarrow{OG}= \begin{pmatrix} 0\\ 5\\ 5 \end{pmatrix} \)

\(\vec{e}=\overrightarrow{OE}= \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 5 \end{pmatrix} \)

Für die Fläche durch die Punkte B, G und E brauchst du einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren.

\(E_{BGE}: \vec{x}=\overrightarrow{OB}+r\cdot\overrightarrow{BG}+s\cdot\overrightarrow{BE}\)

\(E_{BGE}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\ 0\\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0\\-5\\ 5 \end{pmatrix} \)

Dabei sind verschiedene Darstellungen möglich, je nachdem, welchen Ortsvektor und welche Richtungsvektoren du wählst.

Du siehst, dass es viel Schreibarbeit ist. Die anderen Ebenengleichungen findest du jetzt bestimmt selbst.

Tipp: Nimm \(\overrightarrow{OD}\) als Ortsvektor der drei anderen Ebenen.

Comments

Also zum Beispiel so ?

OD+r*DG+s*DE

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BGE,DEB,DEG und welche wäre die vierte ?

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BDG    Grundfläche des Tetraeders, wenn E die Spitze ist

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Stimmt ja danke

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Da D(0|0|0) ist, kannst du für die drei Ebenen den Ortsvektor weglassen.

Zum Beispiel

\(E_{DEB}: \vec{x}=r\cdot\overrightarrow{OE}+s\cdot\overrightarrow{OB}\)

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Verstehe Dankeschön !

Answer 3

                              0           1               0
E(ABCD):  x =       0      + r*0       +s*  1
                              0           0               0

etc.

und dann z.B.

E(DEG) = 0D + r*DG  +  s*DE

      0              0              1
=    0     + r *  1     + s*   0
      0              1               1

etc.