Alle additiven Abbildungen ℤ->ℤ mit f(ab)=a*f(b)+f(a)*b für alle a,b∈ℤ

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle additiven Abbildungen f:ℤ→ℤ mit f(ab)=a*f(b) +f(a)*b für alle a,b∈ℤ

Problem/Ansatz:

Die einzige Abbildung in dieser Richtung, die mir einfällt ist die DIfferentiation, die wir formal in der Vorlesung definiert hatten und dabei insbesondere die Produktregel: D(xy)=x*D(y)+D(x)*y. Allerdings fällt mir keine weitere mehr ein und auch nicht genau, wie ich zeigen soll, dass es keine weiteren mehr gibt.

Answer 1

Nullfunktion erfüllt offenbar die Eigenschaften.

Angenommen f ist eine solche Abbildung

f(1)=f(1*1)=1*f(1)+f(1)*1=2*f(1) => f(1) = 0

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2*f(0)=> f(0)= 0

f(1) = f((-1)*(-1)) = (-1)*f(-1) +f(-1)*(-1)= -2*f(-1)=> f(-1) = 0

Daraus folgt bereits, dass f konstant 0 sein muss. (?)

D.h. es gibt nur eine solche Abbildung: die Nullfunktion.