Kann mir jemand die Sprungstelle erklären ( Unstetigkeit)?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

:)

Es geht um die Unstetigkeit.

Es gibt 3 Arten

1. Hebbare

2. Sprungstelle

3. Polstelle

1&3 habe ich verstanden und auch Beispiele dafür.

Jedoch die Sprungstelle habe ich nicht ganz verstanden weiss nur wie es aussehen würde. Könnte mir jemand es mit einem Beispiel Rechnung erklären?

Comments

Und wie lässt sich eine Sprungschanze
berechnen bzw. beweisen?

Am Absprungpunkt fällt die Sprungschanze
spontan ab zB.
links vom Absprungpunkt : 10 m Höhe
rechts vom Absprungpunkt : 7 m Höhe
Sprungstelle ( blau )
Hier ist eine Teilung der Funktion notwendig.

Die Bahn / Kurve des Skispringers
verläuft stetig ( rot ) ohne Polstelle oder
Sprungstelle

Answer 1

Hier ist ein Bild zu einer Funktion mit Sprungstelle bei \(x_{\text{sprung}}=2\).

Ein sehr leichtes Beispiel, das du dir konstruieren kannst, ist die Vorzeichenwechselfunktion:$$\text{sgn}: \mathbb{R}\to \{-1,0,1\}, x\mapsto \begin{cases}1, \, \text{ für } x>0 \\ 0, \, \text{ für } x=0 \\ -1,  \text{für } x<0\end{cases}$$

Comments

Und wie lässt sich eine Sprungschanze berechnen bzw. beweisen?

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du schaust dir den links- und rechtsseitigen Grenzwert an. Wenn beide gegen einen anderen Wert konvergieren, dann ist dort eine Sprungstelle. Bei der Vorzeichenwechselfunktion:$$\lim\limits_{x\to 0^+} \text{sgn}(x)=1 \text{ aber } \lim\limits_{x\to 0^-} \text{sgn}(x)=-1$$

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Tipp: Zur Unstetigkeit gibt es bei KhanAcademy gute Videos!

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-10/v/types-of-discontinuities