Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von V := <v1, v2, v3, v4, v5>

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Vektoren v₁ = (4, 1, 1, 0, −2),  v₂ = (0, 1, 4, −1, 2),  v₃ = (4, 3, 9, −2, 2),  v₄ = (1, 1, 1, 1, 1),

v₅ = (0, −2, −8, 2, −4) in R⁵.

Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von V := < v1, v2, v3, v4, v5 > . 

Answer 1

Stelle die Matrix aus den 5 Vektoren auf:

\( \begin{pmatrix} 4& 0& 4& 1& 0\\1& 1& 3& 1&-2\\1& 4& 9& 1& -8\\0& -1& -2& 1& 2\\-2& 2& 2& 1& -4 \end{pmatrix} \)

Vereinfache gemäß Steinitz, z.B. duch Gauss-Verfahren oder Gauss-Jordan. Ziel: Viele Nullen erzeugen!

Basis sind: (1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 4, -1, 2) , (4, 1, 1, 0, -2). Es gibt viele Basen.

Diese 3 Vektoren sind l.u.

Die andern beiden lassen sich durch die 3 Basisvektoren linearkombinieren.

V = < v1, v2, v4 >

dim(V) = 3

Comments

Hallo, ich bin zwar nicht der Fragesteller aber mir ist doch noch etwas unklar. Ich wollte die Aufgabe selber lösen und habe erst die Matrix auf zeilenstufenform gebracht:

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccccc}4 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{3}{4} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-9}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

 Jetzt habe ich aber ja 4 Pivotelemente und nicht 3. Ich dachte eigentlich, ich müsste, um aus dem EZS eine Basis zu machen jetzt die Spalten mit den Pivitelementen auswählen. Aber was habe ich dann falsch gemacht?

LG

---

Pivotelement: Diagonalenkoeff., mit dem man alle Koeffizienten unterhalb dieses Koeff. eliminiert. Im 1. Gauss-Schritt nimmst du die 4 links oben und eliminierst die 1 untendrunter, dann die 1 da drunter usw.

---

Es gibt viele Basen. Allerdings sollte diese Basis nur 3 (lin. unabh.) Vektoren enthalten.

---

Hi, danke für die Antwort. Aber das wären doch bei mir 4 und nicht 3,oder? Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wie ich hier noch weiter eliminieren kann, weil die Matrix doch schon auf Dreiecksgestalt gebracht wurde.

---

In deiner letzten Zeile ist die 8 zu viel ;)

$$\left(\begin{matrix} 4 & 0 & 4 & 1 & 0  \\ 0 & 1 & 2 & \frac{3}{4} & -2 \\ 0 & 0  & \frac{-9}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \end{matrix}\right)$$

---

Oh ok, super, vielen Dank;)