Eine Konstante + q(x) berechnen Polynomdivision

Question

Frage:

(x+2)q(x)+c= x^4+3x^3-x^2-2x+5

Aufgabe:

Finden Sie eine Konstante c existiert in reelle Zahlen und ein Polynom q(x) mit

(x+2)q(x)+c=x⁴+3x³-x²-2x+5

 

Wenn ich dieses Polynom (also x⁴+.....) durch (x+2) teile so bekomme ich folgendes heraus : x³+x²-3x+4  und noch ein Rest von - 3 .

Nun würde die Gleichung ja so aussehen oder? : q(x)+c= x³+x²-3x+4      (aber was ist mit dem Rest von -3 und wie gehe ich denn nun weiter vor, um eine Konstante c zu finden bzw. die Gleichung nach c aufzulösen???)

 

Schonmal Danke für die Mühe....

Answer 1

Hi,

die Polynomdivision ist richtig. Um diese zu machen hast Du ja folgendes getan:

(x+2)q(x)+c=x⁴+3x³-x²-2x+5    |:(x+2)

q(x) + c/(x+2) = (x^4+3x^3-x^2-2x+5)/(x+2)

q(x) + c/(x+2) = x^3+x^2-3x+4  +  (-3)/(x+2)

Vergleichen:

q(x) = x^3+x^2-3x+4

c/(x+2) = (-3)/(x+2) --> c = -3

 

Alles klar?

Grüße

Answer 2

( x + 2 ) q ( x ) + c = x ⁴ + 3 x ³ - x ² - 2 x + 5

Auflösen nach c:

c = ( x ⁴ + 3 x ³ - x ² - 2 x + 5 ) - ( x + 2 ) q ( x )

q ( x ) hast du bereits durch die Polynomdivision berechnet und hast herausbekommen:

q ( x ) = x ³ + x ² - 3 x + 4

Multiplikation mit ( x + 2 ) ergibt:

( x + 2 ) * q ( x ) = x ⁴ + 3 x ³ - x ² - 2 x + 8

Einsetzen dieses Ausdrucks in die Formel für c ergibt:

c = ( x ⁴ + 3 x ³ - x ² - 2 x + 5 ) - ( x + 2 ) q ( x )

<=> c = ( x ⁴ + 3 x ³ - x ² - 2 x + 5 ) - ( x ⁴ + 3 x ³ - x ² - 2 x + 8 )

<=> c = - 3