a) Da \(e_i\neq 0\) folgt aus der positiven Definitheit von \(A\):
\(0\lt e_i^TAe_i=a_{ii}\) für \(i=1,\cdots,n\).
b) Sei \(i\neq j\), dann ist \(\alpha e_i+e_j\neq 0\) für alle reellen \(\alpha\).
Wegen der positiven Definitheit von \(A\) ergibt dies
\(0\lt (\alpha e_i+e_j)^TA(\alpha e_i+e_j)=a_{ii}\alpha^2+2a_{ij}\alpha+a_{jj}\).
Also hat die quadratische Gleichung \(a_{ii}\alpha^2+2a_{ij}\alpha+a_{jj}=0\)
keine reelle Lösung \(\alpha\), d.h. die Diskriminante der Gleichung
ist negativ: \(4a_{ij}^2-4a_{ii}a_{jj}\lt 0\), also \(a_{ij}^2<a_{ii}a_{jj}\).