Im Nullring ist das klar: 0 ist kein Nullteiler, aber eine Einheit.
Sei also \( R \neq 0 \) (insb also \( 0 \neq 1 \)). Für \( 0 \in R \) ist das auch klar: 0 ist hier ein Nullteiler, aber keine Einheit. Sei nun \( 0 \neq a \in R \).
Falls \(a\) ein Nullteiler ist ex. ein \( b\neq 0 \) mit \( ab = 0 \). Wäre \(a\) jetzt zusätzlich eine Einheit würde \( a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0 \implies b = 0 \) folgen. Widerspruch.
Falls \( a \) kein Nullteiler ist
$$ \varphi_a : R \to R, b \mapsto ab $$
eine injektive Abbildung (nachrechnen!). Da \( R \) endlich also sogar bijektiv, folglich existiert ein Urbild zur \( 1 \) und damit auch ein \( b \in R \) mit \( ab = 1 \), weshalb \( a \) eine Einheit ist.
