Stellen Sie Funktionsgleichungen auf, die den Verlauf der Bundesstraße sowie den der Umgehungsstraße beschreiben.

Question

Aufgabe:

Durch das Zentrum eines kleinen Ortes im Punkt (0/1) verläuft eine Bundesstraße mit starkem Verkehr. Um die Bevölkerung des Ortes von Lärm und Abgasen zu entlasten, soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die in den Punkten A und B von der Bundesstraße abzweigt. Dabei darf im Punkt A kein Knick entstehen, während der Anschluss in B unter einem beliebigen Winkel erfolgen kann. Aus Gründen der Geländebeschaffenheit muss die Umgehungsstraße durch den Punkt C verlaufen.

A(-2/2) B(2/0) C(1/2)

a) Stellen Sie Funktionsgleichungen auf, die den Verlauf der Bundesstraße sowie den der Umgehungsstraße beschreiben.

Problem/Ansatz:

Die Funktionsgleichung für die Bundesstraße habe ich bereits gefunden.Bei der Umgehungsstraße komme ich aber nicht weiter.

Comments

Kontrolllösung: (erstellt mit der Website von Arndt Brünner)

~plot~-1/2*x+1;-1/6x^3-1/3*x^2+1/6*x+7/3;{0|1};{-2|2};{2|0};{1|2}~plot~

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Und wie berechnet man die zweite Funktionsgleichung?

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Im Text sind 4 Bedingungen versteckt, die du aufstellen musst. Anschließend erwartet dich ein gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten. Kriegst du die Bedingungen formuliert?

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f(-2)=2

f(2)=0

f(1)=2

f‘(0)=1

Sind das die richtigen Bedingungen?

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Die ersten 3 sind richtig. Die vierte ist falsch. Schau dir nochmal das mit dem Knick genauer an.

Answer 1

Ansatz: f(x)=ax³+bx²+cx+d

f '(x)= 3ax²+2bx+c

f(-2)=2       (1) 2=-8a+4b-2c+d
f(1)=2        (2) 2=ab+c+d

f(2)=0        (3) 0=8a+4b+2c+d

f '(-2)=-1/2 (4) -1/2=12a-4b+c

System vom 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten hat die Lösungen a=-1/6; b=-1/3; c=1/6; d=7/3

Funktionsgleichung der Umgehungsstraße: f(x)=-x³/6-x²/3+x/6+7/3.