Zeigen Sie an hand der Skizze den Satz des Pythagoras: a2+b2=c2.

Question

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c. Zeigen Sie an hand der Skizze den Satz des Pythagoras: a²+b²=c².

Answer 1

Verschiebe die Dreiecke so, dass zwei weiße Quadrate zu sehen sind.

Prinzipiell so:

Answer 2

Zunächst solltest du überlegen, wie die Skizze zustande kommt. Vier "Kopien" des gleichen rechtwinkligen Dreiecks werden so "gelegt", dass eine Gesamtfigur entsteht, bei der ein inneres Quadrat mit der Seitenlänge c und diese vier Dreiecke ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b ergeben. Da keine Lücken oder Überschneidungen entstehen, kann man die Flächeninhalte vergleichen. Äußeres Quadrat: (a+b)². Innteres Quadrat: c². Die vier Dreiecke sind flächengleich zu zwei Rechtecken mit den Seitenlängen a und b. Also kann man gegenüberstellen. Ab da ist es nur noch die Anwendung der binomischen Formel und Subtraktion von 2ab auf beiden Seiten.

Answer 3

c^2 = (a + b)^2 - 4·1/2·a·b

c^2 = a^2 + 2·a·b + b^2 - 2·a·b

c^2 = a^2 + b^2