Textaufgabe zu Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Durch den höheren Druck beim Tauchen löst sich im Körper mehr Stickstoff als normalerweise. Taucht man zu schnell auf, so kann dieser Stickstoff Bläschen bilden, die zur so genannten Dekompressionskrankheit führen. Eine gewisse Übersättigung kann der Körper jedoch ausgleichen und nach und nach abbauen. Dieser Abbau erfolgt (annähernd) exponentiell. Eine Minute nach dem Auftauchen beträgt der Wert noch 52 % des Sättigungswerts beim Auftauchen.

1) Gib die Exponentialfunktion an, die den Vorgang beschreibt und stelle sie grafisch dar.

2) Um wie viel Prozent des ursprünglichen Werts ist die Sättigung 3 Minuten nach demAuftauchen gesunken? Berechne und kontrolliere in der Zeichnung.

3) Nach welcher Zeit beträgt die Sättigung noch 20 % des ursprünglichen Werts?

Comments

Da stand auch noch das ganze soll mit der Methode e^yt gemacht werden. Und ich weiß nicht genau was ich da machen soll, da ich nur einen Wert habe.

Answer 1

Aloha :)

Das allgemeine Zerfallsgesetz lautet \(N(t)=N_0\cdot e^{-k\,t}\). Aus der Kenntnis, dass nach \(t=1\,min\) noch \(52\%\) der Stickstoff-Konzentration vorhanden ist, lässt sich die Zerfallsrate \(k\) wie folgt bestimmen:$$\left.0,52=N(1)=1,00\cdot e^{-k\,\cdot\,1}=e^{-k}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\ln(0,52)=\ln\left(e^{-k}\right)=-k$$$$k=-\ln(0,52)\approx0,6539$$Der Abbau des Stickstoffs folgt daher der Formel:$$N=100\%\cdot e^{-0,6539\cdot t}\quad;\quad t\text{ in Minuten}$$

~plot~ exp(-0,6539*x) ; [[0|10|0|1]] ~plot~

Nach \(t=3\,min\) haben wir noch die Konzentration:

$$N(3)=100\%\cdot e^{-0,6539\cdot 3}=100\%\cdot e^{-1,9617}=14,06\%$$Die Konzentration ist also um \(85,94\%\) gesunken.

\(20\%\) des ursprünglichen Wertes finden wir nach der Zeit \(T\), für die gilt:$$\left.20\%=100\%\cdot e^{-0,6593\cdot T}=e^{-0,6593\cdot T}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\ln(0,2)=-0,6593\cdot T$$$$T=\frac{\ln(0,2)}{-0,6593}=2,46\,min$$

Answer 2

Die Angaben und die Teilaufgaben beziehen sich auf Anteile des "Sättigungswerts beim Auftauchen". Der soll offenbar als 1 (=100%) angenommen werden.

Answer 3

0,52= e^(k*1)

k = ln0,52

f(t)= e^(ln0,52*t)

b)

f(3) = e^(ln0,52*3 = 0,1406 = 14,06%

c) 0,2= e^(ln0,52*t)

ln0,2 = ln0,52*t

t =ln0,2/ln0,52 = ...

Answer 4

1) Gib die Exponentialfunktion an, die den Vorgang beschreibt und stelle sie grafisch dar.

f(x) = 0.52^x
f(x) = e^(-0.6539·x)

2) Um wie viel Prozent des ursprünglichen Werts ist die Sättigung 3 Minuten nach dem Auftauchen gesunken? Berechne und kontrolliere in der Zeichnung.

0.52^3 - 1 = -0.8594 = -85.94%
e^(-0.6539·3) - 1 = -0.8594 = -85.94%

3) Nach welcher Zeit beträgt die Sättigung noch 20% des ursprünglichen Werts?

0.52^x = 0.2 → x = 2.461 Minuten
e^(-0.6539·x) = 0.2 → x = 2.461 Minuten