Aufgabe: Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes kann während einer Messung mit der Funktion \(f_a(t)=10t^2\cdot e^{-0,1t-a}, t \geq 0 \quad (\text{t in Jahren }f_a(t) \text{in cm pro Jahr }\)) modelliert werden.
a) Bestimmen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes nach 5 Jahren in Abhängigkeit von a.
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist. Begründen Sie, dass dieser Zeitpunkt unabhängig von a ist.
c) Zeigen Sie, dass der Baum für a = 2,5 nach zehn Jahren eine Wachstumsgeschwindigkeit von etwa 0,3 m pro Jahr hat.
d) Bestimmen Sie für a = 2,5, um welche Höhe der Baum in den ersten 10 Jahren bzw. im 25. Jahr der Messung wächst.
e) Bestimmen Sie für \( a=2,5, \) welche Höhe der Baum nach 15 Jahren hat, wenn er zum Zeitpunkt
\( t=0 \) eine Höhe von \( 30 \mathrm{cm} \) hat.
f) Der Baum soll gefällt werden, wenn er eine Höhe von \( 10 \mathrm{m} \) hat. Bestimmen Sie für \( a=2,5 \), nach wie vielen Jahren der Baum gefällt werden soll.
Hallo, ich bräuchte eben Hilfe bei den Aufgaben d, e und f.
Problem/Ansatz:
Ich hab bei d) das Integral von 0 bis 10 berechnet und kam da auf 131,8 (cm), also knapp 1,31m, die der Baum nach 10 Jahren wächst. Das Ergebnis steht auch in den Lösungen so.
Wenn ich jetzt aber das Integral von 0 bis 25 berechne oder von 25 bis 26 für die Höhe nach 25 Jahren, komm ich auf 748,9 bzw. 41,67. In den Lösungen steht aber, dass der Baum im 25. Jahr eine Höhe von 24,5cm hat. Was genau hab ich also falsch gemacht?
Bei e) würde ich eigentlich auch das Integral von 0 bis 15 berechnen, mein Ergebnis stimmt dann aber auch nicht mit den Lösungen überein
Für f) hab ich leider keinen Ansatz
