Stochastik...............

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthält 5 gelbe, 3 blaue und 4 rote Kugeln. Es wird der Urne eine ungeordnete Stichprobe vom Umfang 3 ohne Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse. 
Die Stichprobe enthält genau
a. 2 rote Kugeln,
b. 3 blaue Kugeln,
c. 1 blaue und 2 rote Kugeln,
d. 1 rote und 2 blaue Kugeln,
e. Mindestens 1 gelbe Kugeln.

Answer 1

Eine Urne enthält 5 gelbe, 3 blaue und 4 rote Kugeln. Es wird der Urne eine ungeordnete Stichprobe vom Umfang 3 ohne Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse.

Die Stichprobe enthält genau

a. 2 rote Kugeln,

COMB(4, 2)·COMB(8, 1)/COMB(12, 3) = 12/55

b. 3 blaue Kugeln,

COMB(3, 3)·COMB(9, 0)/COMB(12, 3) = 1/220

c. 1 blaue und 2 rote Kugeln,

COMB(3, 1)·COMB(4, 2)·COMB(5, 0)/COMB(12, 3) = 9/110

d. 1 rote und 2 blaue Kugeln,

COMB(4, 1)·COMB(3, 2)·COMB(5, 0)/COMB(12, 3) = 3/55

e. Mindestens 1 gelbe Kugeln.

1 - COMB(5, 0)·COMB(7, 3)/COMB(12, 3) = 37/44

Comments

Das ist genau die taschenrechnergeprägte schematische Herangehensweise, die den Blick auf das Naheliegende und Einfache vernebelt.

(Immerhin werden aber die Ergebnisse richtig und nicht in Form schlechter dezimaler Näherungswerte dargestellt.)

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Ich glaube mich erinnert zu haben das cool2000 schon eine Frage zur hypergeometrischen Verteilung hatte. Wenn das nicht so sein sollte kann ich das auch mit einem Baumdiagramm machen.

Bis zu 3 stufigen Baumdiagramen ist das noch sehr leicht möglich. Danach wird das meist etwas kritisch.

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Ja stimmt. Mit hypergeomtrische Verteilung geht das.

Vielen Dank, jetzt habe ich den Bogen raus. ;)

Answer 2

Verwende die stochastische Allzweckwaffe "Baumdiagramm".

Du kannst dabei selbst entscheiden, ob du EIN Baumdiagramm mit allen 27 Pfaden aufstellst oder ob du für jede Teilaufgabe ein eigenes Diagramm betrachtest.

Deine Teilaufgabe

a. 2 rote Kugeln

besteht z.B. aus den 3 Pfaden

rot - rot - andere Farbe

rot - andere Farbe - rot

andere Farbe - rot - rot

und hat die Wahrscheinlichkeit (4/12)*(3/11)*(8/10) + (4/12)*(8/11)*(3/10)+ (8/12)*(4/11)*(3/10).

Fällt dir bei den drei Summanden dieser Summe etwas auf?

Und bekommst du den Rest allein hin?

Comments

+und e?-----------

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Das Gegenereignis lautet: "keine gelbe Kugel".

Berechne also zunächst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

Answer 3

Mit der Hypergeometrischen Verteilung erhalte ich die Verteilung

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrrrr}0& \left\{ 3, 0, 0 \right\} &\frac{1}{22}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\0\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\1& \left\{ 2, 1, 0 \right\} &\frac{3}{22}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\0\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\2& \left\{ 2, 0, 1 \right\} &\frac{2}{11}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\1\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\3& \left\{ 0, 3, 0 \right\} &\frac{1}{220}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\0\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\4& \left\{ 1, 2, 0 \right\} &\frac{3}{44}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\0\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\5& \left\{ 0, 2, 1 \right\} &\frac{3}{55}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\1\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\6& \left\{ 0, 0, 3 \right\} &\frac{1}{55}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\3\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\7& \left\{ 1, 0, 2 \right\} &\frac{3}{22}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\2\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\8& \left\{ 0, 1, 2 \right\} &\frac{9}{110}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\2\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\9& \left\{ 1, 1, 1 \right\} &\frac{3}{11}& \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}3\\1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}4\\1\\\end{array}\right) \right\} &/&\left(\begin{array}{r}12\\3\\\end{array}\right)\\\end{array}\right) \)

da lässt sich dann alles ablesen

Answer 4

Mit Baumdiagramm:

a) 4/12*3/11*8/10* (3über2)

b) 3/12*2/11*1/10

c)3/12*4/11*3/10 *(3über1)

d)4/12*3/11*2/10*(3über1)

e) 1- 7/12*6/11*5/10