Für welche Werte von k stehen t1 und t2 senkrecht aufeinander

Question

Aufgabe:

t1 ist die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) =k*x^2 im Kurvenpunkt P( k / f(k) ). t2 ist die Tangente an den Graphen von f im Kurvenpunkt q(-k/f(-k)). Für wekche Wrte von k stehen t1 und t2 senkrecht aufeinander?

Problem/Ansatz:

Von meiner Lehrerin habe ich den Lösungsweg bekommen. Nun verstehe ich ihn leider nicht

f'(k) = (-1) / (f'(-k))

wieso ist auf der einen Seite k und auf der anderen Seite -k?

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung von \(f(x)=kx^2\) ist \(f'(x)=2kx\). Die Tangente \(t_1\) bei \(x=k\) hat daher die Steigung \(m_1=f'(k)=2k^2\). Die Tangente \(t_2\) bei \(x=-k\) hat die Steigung \(m_2=f'(-k)=-2k^2\). Zwei Geraden bzw. Tangenten stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich \(-1\) ist:$$-1=m_1\cdot m_2=f'(k)\cdot f'(-k)=(2k^2)\cdot(-2k^2)=-4k^4\quad\Leftrightarrow\quad k^4=\frac{1}{4}$$Das heißt \(k^2=\frac{1}{2}\) [die negative Lösung fällt weg, weil \(k^2\ge0\) gelten muss] und schließlich: \(k=\pm\frac{1}{\sqrt2}\).

Answer 2

Hallo

es geht doch um die 2 Kurvenpunkte P und Q. und f'(P)=-1/f'(Q)und Phat die Koordinaten (k,f(k)) Q die Koordinaten (-k,f(-k)) natürlich musst du deshalb für die Steigung in Q -k einsetzen.

Gruß lul