Ableitung einer Wurzel im Bruch mit der Quotientenregel

Question

Aufgabe:

\( \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme hier mit der Quotientenregel nicht auf die Lösung: \( \frac{-4}{(x^2 + 4x)^(\frac{3}{2})}) \)

Bei mir kommt im Nenner das richtige Ergebnis, aber im Zähler:

\( \sqrt{x^2 + 4x} \) - (x^2 + 4x + 4)

Ich finde den Fehler leider nicht..

Answer 1

(Nenner * Abl. vom Zähler - Zähler* Abl. vom Nenner ) / ( Nenner^2)  gibt

$$\frac{\sqrt{x^2+4x}* 1 - (x+2)*0,5*(x^2 +4x)^{-0,5}*(2x+4)}{x^2+4x}=\frac{\sqrt{x^2+4x} - (x+2)^2(x^2 +4x)^{-0,5}}{x^2+4x}$$

Jetzt im Zähler  1 durch die Wurzel ( bzw. das "hoch -0,5") ausklammern gibt

$$=\frac{(x^2+4x)^{-0,5}*(x^2+4x - (x+2)^2)}{x^2+4x}$$

$$=\frac{x^2+4x - (x+2)^2}{(x^2+4x)^{1,5}}$$

$$=\frac{x^2+4x - (x^2+4x+4)}{(x^2+4x)^{1,5}}$$

$$=\frac{-4}{(x^2+4x)^{1,5}}$$

Answer 2

Hallo,

na dann mal ganz formal $$\begin{aligned} f(x) &= \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}} \\ u(x) &= x+2 && u'(x) = 1 \\ v(x) &= \sqrt{x^2+4x } && v'(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}} \\ f'(x) &= \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)} \\&= \frac{ \sqrt{x^2+4x } - ( x+2) \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}} }{x^2+4x} \\&= \frac{x^2+4x -(x+2)^2}{(x^2+4x)^{3/2}} \\&= \frac{-4}{(x^2+4x)^{3/2}}\end{aligned}$$wenn Du den Bruch mit \(\sqrt{x^2+4x } \) erweiterst, so musst Du natürlich im Zähler jeden Summanden mit dem Faktor \(\sqrt{x^2+4x } \) multiplizieren.

Gruß Werner

Answer 3

Hallo

nach Quotientenregel:

$$\frac{\sqrt{x^2+4x}-\frac{1}{\sqrt{x^2+4x}}*(x+2)*(x+2)}{\sqrt{x^2+4x}^2}$$

jetzt mit $$\sqrt{x^2+4x}$$ erweitern, dann fällt die Wurzel , die du noch hast vorne weg.

Gruß lul