Formel umstellen nach A2

Question

Ich habe ein großes Problem folgende Formel umzustellen:

\( V=\frac{A_{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}}} * \sqrt{2 * \frac{\Delta p}{\rho}} \)

Umstellen nach A2.

Answer 1

Zunächst setze ich der Übersicht halber:

$$B=\sqrt { 2*\frac { \Delta p }{ \rho  }  }$$

Dann sieht die Formel so aus:

$$V=\frac { { A }_{ 2 } }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 } }  } *B$$

Mit dem Nenner multiplizieren und durch V dividieren:

$$\Leftrightarrow \sqrt { 1-{ \left( \frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { { A }_{ 2 }*B }{ V }$$

Quadrieren:

$$\Leftrightarrow 1-{ \left( \frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 }={ A }_{ 2 }^{ 2 }*\frac { { B }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } }$$

Etwas umstellen:

$$\Leftrightarrow { A }_{ 2 }^{ 2 }*\frac { { B }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } +{ \left( \frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 }=1$$

A₂² ausklammern:

$$\Leftrightarrow { A }_{ 2 }^{ 2 }*\left( \frac { { B }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } +{ \left( \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 } \right) =1$$

Durch den Faktor hinter dem A₂² dividieren:

$$\Leftrightarrow { A }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 1 }{ \left( \frac { { B }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } +{ \left( \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 } \right)  }$$

Wurzel ziehen und B rückersetzen:

$$\Leftrightarrow { { A }_{ 2 } }=\frac { 1 }{ \sqrt { \frac { 2*\frac { \Delta p }{ \rho  }  }{ { V }^{ 2 } } +{ \left( \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 } }  }$$

noch ein wenig vereinfachen:

$$\Leftrightarrow { { A }_{ 2 } }=\frac { 1 }{ \sqrt { \frac { 2\Delta p }{ { V }^{ 2 }\rho  } +{ \left( \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } }  \right)  }^{ 2 } }  }$$