Wie viele Kugel passen in den Würfel?

Question

Aufgabe:

Ich habe einen Würfel der ist 15*15*15 cm. In diesen Würfel sollen Kugeln mit einem Durchmesser von 2 cm.

Der Würfel hat ein Volumen von 3375cm³, die Kugel von 4,2cm³. Auch habe ich den Umfang der Kugel berechnet der ist 6,3cm.

Problem/Ansatz:

Mit welcher Formel lässt es sich ausrechnen damit man sagen kann wie viele Kugeln in den Würfel passen.

Die Kugeln wären so angeordnet das sie immer nebeneinander und übereinander liegen, also nicht versetzt.

Answer 1

"Würfel der ist 15*15*15 cm. In diesen Würfel sollen Kugeln mit einem Durchmesser von 2 cm"

15:2=7Rest 1

in einer Dimension passen (geradeaufeindergesetzt ohne Versatz) 7 Kugeln

7*7*7= ...

Comments

Vielen Dank :)

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Wenn man aber in einen solchen Würfel einfach mal 7³ = 243 Kugeln einfüllt, werden sich die Kugeln nicht schön "in Reih und Glied" nebeneinander anordnen, sondern nach Möglichkeit in verbleibende Lücken einsinken. Das Ergebnis sieht dann eher ungeordnet aus, aber am Schluss stellt man fest, dass bestimmt einige weitere als nur die 243 Kugeln in der Box Platz finden (Schätzung: evt. bis fast 300 ...?). Möglicherweise gibt es für das spezielle Problem "Wieviele Kugeln vom Radius 1 haben maximal im Würfel der Kantenlänge a Platz ?" spezielle Webseiten.

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Suchbegriff: dichteste Kugelpackung

Matt Parker hat ein schönes YT-vid dazu gemacht.

https://www.youtube.com/watch?v=3inLMXcetUA

oder auch

https://www.youtube.com/watch?v=CROeIGfr3gs

Answer 2

7 Kugeln nebeneinander mit einem Durchmesser von 2 cm ergeben 14 cm jeweils in der Länge, Breite und Höhe des Würfels. Also wie viele Kugeln insgesamt?

Answer 3

Derartige Aufgaben über Kugelpackungen sind im Allgemeinen ziemlich schwierig. Eine einheitliche oder einfache Formel zur Berechnung der maximal möglichen Anzahl gibt es nicht.

Natürlich kann man relativ leicht gewisse untere und obere Schranken für die Anzahl Kugeln bestimmen.

Comments

Ist aber in der gegebenen Aufgabenstellung ohne Belang.

Wenn nach einem Fahrrad gefragt wird, muss man nicht damit kommen, die Effekte nahe der Lichtgeschwindigkeit zu berücksichtigen.