Restklassen: Invertierbare Zahlen z.B. modulo 12?

Question

Aufgabe:

a) Welche Zahlen sind beim Rechnen modulo 12 invertierbar?
b) Stellen Sie eine Multiplikationstafel für diese invertierbaren Elemente auf.
c) Warum treten in der Multiplikationstafel als Ergebnisse nur invertierbare Elemente auf?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau wie ich Aufgabe c beantworten soll kann mir da wer weiter helfen?

Comments

Die Aufgabe c) ist die Fortsetzung der Aufgaben a) und b).

Bevor du um die Lösung für c) bittest wäre es vernünftig gewesen, deine Ergebnisse für a) und b) anzugeben.

Answer 1

Sind a und b invertierbar, dann ist a·b·b^-1·a^-1 = 1. Also ist dann auch a·b invertierbar mit

        (a·b)^-1 = b^-1·a^-1.

Comments

Hallo nochmal, woher weiß man den bei der Frage oder eher welchen Ansatz braucht man um rauszufinden welche Zahlen modulo 12 invertierbar sind? Sind nicht generell alle Zahlen invertierbar?

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Nehmen wir doch mal an, du hättest recht, und die z.B. Zahl 4 wäre mod 12 invertierbar.

Welches Vielfache von 4 lässt den Rest 1 bei Teilung durch 12?

welchen Ansatz braucht man um rauszufinden welche Zahlen modulo 12 invertierbar sind?

Du  brauchst keinen "Ansatz". Du musst nur ein wenig arbeiten. Berechne einfach alle Produkte , die zwischen den Zahlen 1 bis 11 paarweise möglich sind. Dann werte aus, welche der Produkte den Rest 1 bei Teilung durch 12 lassen.

Keine Angst, es sind nicht 121 Aufgaben, sondern nur ca. halb so viele, weil man Faktoren vertauschen kann.

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Okay ich verstehe warum das falsch ist, warum nicht alle Zahlen gelten. Was bedeutet denn genau 'invertierbar'? Aber warum muss bei der Rechnung: 4 mod 12 der Rest 1 rauskommen?

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x ist invertierbar wenn es ein y gibt, so dass x·y = 1 ist.

Allgemeiner: x ist bezüglich der Verknüpfung • invertierbar wenn es ein y gibt, so dass x•y und y•x das neutrale Element der Verknüpfung • ergeben.

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Suche in deiner Vorlesungsmitschrift nach der Definition dieses Begriffs!

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Das habe ich bereits, sonst würde ich hier ja nicht fragen. Es ist nur schwer verständlich. Aber danke für die Erklärung.

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Und da steht was anderes als das, was dir oswald geschrieben hat?

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Da steht das:

Das Element b (element von) M heißt inverses Element zu a, falls gilt:
a b = e = b a:
Das inverse Element wird auch mit a^-1 bezeichnet.

Deswegen hat mir die Umformulierung von oswald schon geholfen.

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Wäre zum Beispiel:

1x = 4 mod 12 und

2x = 4 mod 12

zwei mögliche Ergebnisse die für mod 12 invertierbar sind?

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1x = 4 mod 12 und 2x = 4 mod 12  sind keine Ergebnisse.

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x = 4 und x = 2

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2 ist Modulo 12 nicht invertierbar. 4 ebenso nicht.

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Ich dachte invertierbar bedeutet jetzt, dass bei a * x (äquivalentzeichen) b mod 12. Und dann muss man bei der Aufgabe mögliche Kombinationen für a und b nehmen wie zum Beispiel für a = 1 und für b = 4 und dann kriegt man für x = 4 raus.

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Ein paar Beispiele zur Invertierbarkeit bei Multiplikation.

1. In den reellen Zahlen ist 5/6 invertierbar, weil 5/6 · 6/5 = 1 ist und 1 neutral bezüglich der Multiplikation ist.
2. In den reellen Zahl ist 0 nicht invertierbar, weil es kein z gibt, so dass 0·z = 1 ist.
3. Beim Rechnen modulo 9 ist 5 invertierbar, weil 5·2 ≡ 10 ≡ 1 mod 9 und 1 neutral bezüglich der Multiplikation ist.
   
4. Beim Rechnen modulo 9 ist 3 nicht invertierbar, weil
   

           3 · 0 ≡ 0 mod 9
           3 · 1 ≡ 3 mod 9
           3 · 2 ≡ 6 mod 9
           3 · 3 ≡ 0 mod 9
           3 · 4 ≡ 3 mod 9
           3 · 5 ≡ 6 mod 9
           3 · 6 ≡ 0 mod 9
           3 · 7 ≡ 3 mod 9
           3 · 8 ≡ 6 mod 9

   Keines der Produkte ergibt 1.
   

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Ah verstehe okay.

Dann wäre es bei mod 12

1x ≡1 mod 12 mit x=1

5x ≡1 mod 12 mit x=5

7x ≡1 mod 12 mit x=7

11x ≡1 mod 12 mit x=11

Oder?

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Ja. Hier liegt der Sonderfall vor, dass diese Zahlen alle zu sich selbst invers sind.

Bei Teilung durch 7 ist das teilweise anders:

1*1 ≡ 1 mod 7

2*4 ≡ 1 mod 7

3*5 ≡ 1 mod 7

6*6 ≡ 1 mod 7

Da sind 1 und 6 zu sich selbst invers, 2,3,4,und 5 aber jeweils zu einer anderen Zahl.

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Alles klar! Okay. Und für die Fälle 2 bis 9 modulo 12 braucht man das nicht ausrechnen oder?

Ich hab jetzt die Multiplikationstabelle erstellt und da kann man ja auch das folgende ablesen:

1x = 2 mod 12 mit x = 2

2x = 2 mod 12 mit x = 1

7x = 2 mod 12 mit x = 2

10x = 2 mod 12 mit x = 4

11x = 2 mod 12 mit x = 10

und dann für 3 mod 12, 4 mod 12, usw...

Weil das hab ich davor angefangen so zu machen, aber ich glaub das ist unnötig oder?

(Wenn ichs richtig verstanden habe, sind die Zahlen nur invertierbar, wenn x * y = 1 wie oswald vorher geschrieben hat.)