Tangentengleichung bestimmen Punkten

Question

Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f mit f(x) = 3 - 0,5x² im Punkt P(x0 | f(x0)) ohne GTR(Taschenrechner)

a) x0 = -2

b) x0 = 0

c) x0 = 5

Wir haben ein neues Thema bekommen und wegen Covid-19 müssen wir das selber lernen.

Ich hab das aber mit dem Mathebuch leider nicht verstanden.

Comments

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Answer 1

Hallo,

zuerst bestimmst du den Funktionswert:

f(-2) = 3 - 0,5•(-2)² = 1

Danach bildest zunächst die Ableitung = Steigung

f(x) = 3 - 0,5x²

f'(x) = -x

f'(-2) = 2 

allgemeine Form von Geraden/Tangenten: y = mx + b

m = Steigung

b = Schnittpunkt mit der y-Achse

Jetzt die die Werte in die Gleichung einsetzen, um b zu ermitteln:

1 = 2•(-2) + b ⇒ b = 5

Gleichung der Tangente: y = 2x + 5

So verfährst du auch mit den beiden anderen Punkten.

Answer 2

Aloha :)

Du hast eine Funktion \(f(x)\) und einen besonderen Punkt \(x_0\). An diesen Punkt sollst du nun die Tangente \(t(x)\), also eine Gerade legen. Eine Gerade hat die allgemeine Form:$$t(x)=m\cdot x+b$$Die Tangente \(t\) berührt die Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\), das heißt: \(t(x_0)=f(x_0)\):$$f(x_0)=t(x_0)=m\cdot x_0+b$$$$\Rightarrow\quad b=f(x_0)-m\cdot x_0$$Setzen wir dieses \(b\) in die Tangentengleichung ein, finden wir:$$t(x)=m\cdot x+f(x_0)-m\cdot x_0$$$$\phantom{t(x)}=f(x_0)+m\cdot x-m\cdot x_0$$$$\phantom{t(x)}=f(x_0)+m\cdot(x-x_0)$$Die Tangente \(t\) hat dieselbe Steigung wie die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\), das heißt: \(m=f'(x_0)\). Damit ist die allgemeine Tangentengleichung fertig:$$\underline{t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)}$$

Damit kannst du die Aufgabe schnell lösen:$$f(x)=3-\frac{1}{2}x^2\quad;\quad f'(x)=-x$$

1. Fall \(x_0=-2\)$$f(-2)=1\quad;\quad f'(-2)=2$$$$\Rightarrow\quad t_{-2}(x)=1+2\cdot(x-(-2))=\underline{2x+5}$$2. Fall \(x_0=0\)$$f(0)=3\quad;\quad f'(0)=0$$$$\Rightarrow\quad \underline{t_{0}(x)=3}$$

3. Fall \(x_0=5\)$$f(5)=-9,5\quad;\quad f'(5)=-5$$$$\Rightarrow\quad t_5(x)=-9,5-5(x-5)=\underline{-5x+15,5}$$

Answer 3

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente liegen soll

f(x)=-0,5*x²+3 abgeleitet f´(x)=-0,5*2*x=-1*x

xo=-2

f(xo)=f(-2)=-0,5*(-2)²+3=-0,5*4+3=-2+3=1

f´(xo)=f´(-2)=-1*(-2)=2

eingesetzt

ft(x)=2*(x-(-2)+1=2*x+2*2+1

yt=ft(x)=2*x+5

die anderen Aufgaben gehen genau so

Hier Infos,vergrößern und/oder herunterladen

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