Flächeninhalt eines Dreiecks -Tangenten

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Flächeninhalt eines Dreiecks -Tangenten

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Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

xo=-1

f(x)=x³-1 abgeleitet f´(x)=3*x² f(xo)=f(-1)=(-1)²-1=-2 f´(xo)=f´(-1)=3*(-1)²=3

eingesetzt

yt=ft(x)=3*(x-(-1)+(-1)³-1)=3*x+3-1-2

yt=ft(x)=3*x+1

Gerade n(x)=-1/3*x-7/3

f(x)=x³-1

Alle 3 Funktionen schneiden sich im Punkt Ps(-1/2)

f(x)=ft(x) Schnittpunkt Ps(-1/-2)

ft(x)=n(x) Schnittpunkt Ps(-1/-2)

f(x)=n(x) schnittpunkt P2(-1/-2)

Integrationsgrenzen sind die Nullstellen von n(x)=.. und ft(x)=...

n(x)=0=-1/3*x-7/3 xu=(7/3)/(-1/3)=-7

ft(x)=3*x+1 xo=-1/3

Das Dreieck kannst du nun in 2 Teilflächen aufteilen

A=|A1|+|A2| Betrag,weil beide Teilflächen unterhalb der x-Achse liegen

Integrationsgrenzen von A1 xu1=-7 und x1o=-1

Integrationgrenzen von A2 x2u=-1 und x2o=-1/3

Den Rest schaffst du selber

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Tangente u Normale.JPG

Text erkannt:

$ f(x)=-x $
$ f^{\prime}(x)=2^{2}+x \operatorname{sit} x=0-2 $ ersibe $ f(2)-2^{2}-4 $

~plot~x^3-1;3*x+1;-1/3*x-7/3;[[-10|6|-10|10]];x=-7;x=-1;x=-1/3~plot~

Beantwortet 19 Mai 2020 von fjf100

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Werner-Salomon · Answer 1 · 2020-05-19T19:09:38+0000

Hallo,

Ich weiß nicht ganz genau wie man hier vorgeht.

na zunächst mal, indem man sich eine Skizze macht. Zwei Funktionen $f(x)$ und $n(x)$ und eine Tangente $t(x) = f'(-1)(x - x_0) + f(-1)$

~plot~ x^3-1;(-x-7)/3;3(x+1)-2;[[-8|4|-4|2]];{-1|-2} ~plot~

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente (grün) an den Graphen von f (blau) im Punkt P(x0|f(x0)) mit der Geraden n (rot) und der x-Achse einschließt.

Es gilt also die Fläche dieses Dreiecks zu bestimmen. Die Grundseite liegt zwischen den Schnittpunkte von $n$ und $t$ mit der X-Achse:$$\begin{aligned} n(x_1) &= 0 \\ 0 &= \frac 13\left( -x_1 - 7\right) \\ \implies x_1 &= -7 \\ t(x_2) &= 0 \\ 0 &= f'(-1)(x_2 - x_0) + f(-1) \\ 0 &= 3(-1)^2 (x_2 + 1) + (-1)^3 - 1 \\ 0 &= 3x_2 + 1 \\ \implies x_2 &= -\frac 13 \end{aligned}$$Die Spitze des Dreiecks ist der Schnittpunkt $(-1;\, -2)$ von $n$ und $t$ (prüfe, on dies der Schnittpunkt ist). Folglich ist die Höhe $h$ des Dreiecks $h=2$. Und seine Fläche $F_{\triangle}$ ist $$F_{\triangle} = \frac 12 hc = \frac 12 \cdot 2\left(- \frac 13 - (-7)\right) = \frac {20}3$$Gruß Werner

Moliets · Answer 2 · 2025-03-26T17:34:56+0000

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an den Graphen von f im Punkt P$(x_0|f(x_0)) $mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.
$f(x) = x^3-1$ $n(x)= - \frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$ $x_0=-1$

$P_0(-1|-2) $

$f'(x) = 3x^2$ $f'(-1) = 3$

Tangente durch $P_0(-1|-2) $ mit der Steigung $m=3$

Punkt-Steigungsform einer Geraden

$\frac{y-(-2)}{x-(-1)}=3$

Diese Gerade soll ja die x-Achse schneiden, somit ist $y=0$

$\frac{2}{x+1}=3$ mit $x≠-1$ $x=-\frac{1}{3}$

$N_1(-\frac{1}{3}|0)$

$n(x)= - \frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$ → $- \frac{1}{3}x-\frac{7}{3}=0$

Nullstelle bei $x=-7$ → $N_2(-7|0)$

Jetzt sind die Koordinaten des Dreiecks mit

$P_0(-1|-2) $, $N_1(-\frac{1}{3}|0)$ und $N_2(-7|0)$ vorhanden

$\vec{u} =\begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\0\\ \end{pmatrix}$ und $\vec{v} =\begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\-2\\ \end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix} \frac{20}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0& -2 \end{pmatrix} $

Dreiecksfläche: (Vektorprodukt)

$2A=∣ \frac{20}{3}\cdot (−2)∣−0=\frac{40}{3}$

$A=\frac{20}{3}$FE

Flächeninhalt eines Dreiecks -Tangenten

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