Flächeninhalt eines Dreiecks -Tangenten

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0|f(x0)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.

f(x) = x³-1

n(x)= -1/3x-7/3   x0=-1

Kann mir hier jemand helfen?

Ich weiß nicht ganz genau wie man hier vorgeht.

Answer 1

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

xo=-1

f(x)=x³-1  abgeleitet f´(x)=3*x²  f(xo)=f(-1)=(-1)²-1=-2 f´(xo)=f´(-1)=3*(-1)²=3

eingesetzt

yt=ft(x)=3*(x-(-1)+(-1)³-1)=3*x+3-1-2

yt=ft(x)=3*x+1

Gerade  n(x)=-1/3*x-7/3

f(x)=x³-1

Alle 3 Funktionen schneiden sich im Punkt Ps(-1/2)

f(x)=ft(x)  Schnittpunkt Ps(-1/-2)

ft(x)=n(x) Schnittpunkt Ps(-1/-2)

f(x)=n(x) schnittpunkt P2(-1/-2)

Integrationsgrenzen sind die Nullstellen von n(x)=.. und ft(x)=...

n(x)=0=-1/3*x-7/3   xu=(7/3)/(-1/3)=-7

ft(x)=3*x+1  xo=-1/3

Das Dreieck kannst du nun in 2 Teilflächen aufteilen

A=|A1|+|A2|  Betrag,weil beide Teilflächen unterhalb der x-Achse liegen

Integrationsgrenzen von A1  xu1=-7 und x1o=-1

Integrationgrenzen von A2 x2u=-1 und x2o=-1/3

Den Rest schaffst du selber

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

$f(x)=-x$
$f^{\prime}(x)=2^{2}+x \operatorname{sit} x=0-2$ ersibe $f(2)-2^{2}-4$

 Plotlux öffnen

f₁(x) = x³-1f₂(x) = 3·x+1f₃(x) = -1/3·x-7/3Zoom: x(-10…6) y(-10…10)x = -7x = -1x = -1/3

Comments

Dankeschön :)

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Biieetaa schöön !

Answer 2

Hallo,

Ich weiß nicht ganz genau wie man hier vorgeht.

na zunächst mal, indem man sich eine Skizze macht. Zwei Funktionen $f(x)$ und $n(x)$ und eine Tangente $t(x) = f'(-1)(x - x_0) + f(-1)$

Plotlux öffnen

f₁(x) = x³-1f₂(x) = (-x-7)/3f₃(x) = 3(x+1)-2Zoom: x(-8…4) y(-4…2)P(-1|-2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente (grün) an den Graphen von f (blau) im Punkt P(x0|f(x0)) mit der Geraden n (rot) und der x-Achse einschließt.

Es gilt also die Fläche dieses Dreiecks zu bestimmen. Die Grundseite liegt zwischen den Schnittpunkte von $n$ und $t$ mit der X-Achse:$$\begin{aligned} n(x_1) &= 0 \\ 0 &= \frac 13\left( -x_1 - 7\right) \\ \implies x_1 &= -7 \\ t(x_2) &= 0 \\ 0 &= f'(-1)(x_2 - x_0) + f(-1) \\ 0 &= 3(-1)^2 (x_2 + 1) + (-1)^3 - 1 \\ 0 &= 3x_2 + 1 \\ \implies x_2 &= -\frac 13 \end{aligned}$$Die Spitze des Dreiecks ist der Schnittpunkt $(-1;\, -2)$ von $n$ und $t$ (prüfe, on dies der Schnittpunkt ist). Folglich ist die Höhe $h$ des Dreiecks $h=2$. Und seine Fläche $F_{\triangle}$ ist $$F_{\triangle} = \frac 12 hc = \frac 12 \cdot 2\left(- \frac 13 - (-7)\right) = \frac {20}3$$Gruß Werner

Answer 3

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an den Graphen von f im Punkt P$(x_0|f(x_0))$mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.

 $f(x) = x^3-1$       $n(x)= - \frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$          $x_0=-1$

$P_0(-1|-2)$

$f'(x) = 3x^2$          $f'(-1) = 3$

Tangente durch   $P_0(-1|-2)$ mit der Steigung $m=3$

Punkt-Steigungsform einer Geraden

$\frac{y-(-2)}{x-(-1)}=3$

Diese Gerade soll ja die x-Achse schneiden, somit ist $y=0$

$\frac{2}{x+1}=3$    mit $x≠-1$       $x=-\frac{1}{3}$

$N_1(-\frac{1}{3}|0)$

$n(x)= - \frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$    →  $- \frac{1}{3}x-\frac{7}{3}=0$

Nullstelle bei $x=-7$  → $N_2(-7|0)$

Jetzt sind die Koordinaten des Dreiecks mit

$P_0(-1|-2)$,  $N_1(-\frac{1}{3}|0)$ und $N_2(-7|0)$ vorhanden

$\vec{u} =\begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\0\\ \end{pmatrix}$ und $\vec{v} =\begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\-2\\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{20}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0& -2 \end{pmatrix}$

Dreiecksfläche: (Vektorprodukt)

$2A=∣ \frac{20}{3}\cdot (−2)∣−0=\frac{40}{3}$

$A=\frac{20}{3}$FE

Comments

Die Länge der Grundseite sowie die Höhe des Dreiecks kann man direkt anhand der Koordinaten ablesen:

$g=-\frac{1}{3}-(-7)$

$h=2$

Dafür braucht man keine Vektoren und schon gar kein Vektorprodukt (zumal die Flächenformel für Dreiecke mit Hilfe von Vektoren meist gar nicht gelehrt wird). Warum wieder so unnötig umständlich?

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Dass du bei mir immer etwas auszusetzen hast, ist wieder mal bezeichnend für dich. Aber bei der 1. Antwort, wo mit dem Integral gearbeitet wird, ist das wohl in Ordnung. Außerdem habe ich noch nie im Leben mit Vektoren gearbeitet, erst vor Kurzem mir angeeignet.

Und hier ist es auch nicht angebracht, mit Vektoren zu arbeiten?

https://www.mathelounge.de/92308/abiaufgaben-analysis-f-x-x-3-5x-2-4…

Außerdem lassen sich krumme Vierecke gut in 2 Dreiecke aufteilen.